1、8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì),-2-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,1,自測(cè)點(diǎn)評(píng),1.兩條直線互相垂直:如果兩條直線相交于一點(diǎn)或相交于一點(diǎn),并且交角為,則稱這兩條直線互相垂直.,經(jīng)過平移后,直角,-3-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,1,2.直線與平面垂直 (1)直線與平面垂直的定義:如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)O,并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)(O)的直線都垂直,就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直.,任何,-4-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,1,(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論:,兩條相交直線,a,b,ab=O,la,lb,垂直于,ab,a,a,b,-5-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè)

2、,自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,1,3.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義:如果兩個(gè)相交平面的與第三個(gè)平面垂直,又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線,就稱這兩個(gè)平面互相垂直.,交線,互相垂直,-6-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,1,(2)平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理:,垂線,l,l,交線,l,=a,la,2,-7-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng),1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)已知直線a,b,c;若ab,bc,則ac.() (2)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l.() (3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,若mn,m,則n. ()

3、(4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.() (5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則. (),答案,-8-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,4,1,5,2.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是() A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1,答案,解析,-9-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,4,1,5,3.(2017湖南岳陽一模)已知,表示兩個(gè)不同的平面,m為平面內(nèi)的一條直線,則“m ”是“ ”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,

4、答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,4,1,5,4. P為ABC所在平面外一點(diǎn),O為P在平面ABC內(nèi)的射影. (1)若P到ABC三邊距離相等,且O在ABC的內(nèi)部,則O是ABC的心; (2)若PABC,PBAC,則O是ABC的心; (3)若PA,PB,PC與底面所成的角相等,則O是ABC的心.,答案,解析,-11-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng),2,3,4,1,5,5.如圖,PA垂直于O所在平面,AB是O的直徑,C是O上一點(diǎn),AEPC,AFPB,給出下列結(jié)論:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命題的序號(hào)是.,答案,解析,-12-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),自測(cè)

5、點(diǎn)評(píng),1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,還有可能異面、相交. 2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理,不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,就垂直于這個(gè)平面”. 3.判斷線面關(guān)系時(shí)最容易漏掉線在面內(nèi)的情況.,-13-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例1 如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求證:BF平面ACFD; (2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值. 思考證明線面垂直的常用方法有哪些?,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明 延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.

6、因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,且ACBC, 所以AC平面BCK,因此BFAC. 又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2, 所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK. 所以BF平面ACFD.,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-16-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面). 2.解題時(shí),注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化;另外,在證明線線垂直時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)

7、角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長(zhǎng)度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 (2017山東濰坊一模)在如圖所示的空間幾何體中,EC平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,CEBF,且CE=2BF,G,H,P分別為AF,DE,AE的中點(diǎn).求證: (1)GH平面BCEF; (2)FP平面ACE.,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明: (1)取EC中點(diǎn)M,FB中點(diǎn)N,連接HM,GN. 則HM DC,GN AB, 由題意可知ABCD,AB=CD,HMGN, 四邊形HMNG是平行四邊形,GHMN, GH平面BCEF,MN平面

8、BCEF, GH平面BCEF. (2)連接BD,與AC交于O,連接OP,則OP EC, 又ECBF,EC=2BF,OPBF, 四邊形PFBO是平行四邊形, PFBO,BOAC,BOEC,ACEC=C,BO平面ACE, FP平面ACE.,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積. 思考證明面面垂直的常用方法有哪些?,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形, 所以ACBD. 因?yàn)锽E平

9、面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED.,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件:l,l,缺一不可.,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 (2017河南洛陽三模)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行四邊形,AA1平面ABCD,BAD=60,AB=2,BC=1,AA1= ,E為A

10、1B1的中點(diǎn). (1)求證:平面A1BD平面A1AD; (2)求多面體A1E-ABCD的體積.,-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明: AB=2,AD=BC=1,BAD=60, BD2+AD2=AB2,BDAD, AA1平面ABCD,BD平面ABCD, BDAA1,又AA1AD=A,AA1平面A1AD,AD平面A1AD,BD平面A1AD,又BD平面A1BD, 平面A1BD平面A1AD.,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向一平行與垂直關(guān)系的證明 例3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1

11、F,A1C1A1B1. 求證:(1)直線DE平面A1C1F; (2)平面B1DE平面A1C1F. 思考處理平行與垂直關(guān)系的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是什么?,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC. 在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DEAC,于是DEA1C1. 又因?yàn)镈E平面A1C1F,A1C1平面A1C1F, 所以直線DE平面A1C1F.,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1. 又因?yàn)锳1C1A1B1,A1A平面A

12、BB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以A1C1平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D平面ABB1A1, 所以A1C1B1D. 又因?yàn)锽1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以B1D平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D平面B1DE, 所以平面B1DE平面A1C1F.,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向二探索性問題中的平行與垂直關(guān)系 例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,DAB=45,PD平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),且 點(diǎn)F為PD中點(diǎn). (1)若k= ,求證:直線AF平面PEC; (2)是否存在一

13、個(gè)常數(shù)k,使得平面PED平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 思考探索性問題的一般處理方法是什么?,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-31-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向三折疊問題中的平行與垂直關(guān)系 例5如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置. (1)證明:ACHD; 思考折疊問題的處理關(guān)鍵是什么?,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,-35-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)思想

14、和處理策略: (1)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化. (2)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)的存在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個(gè),也可以根據(jù)相似的知識(shí)找點(diǎn). (3)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系,尤其是隱含著的垂直關(guān)系.,-36-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017北京房山區(qū)一模)如圖1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn),如圖2

15、. (1)求證:DEA1B. (2)求證:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一點(diǎn)G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出,圖1,圖2,-37-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明: 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置, DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DEA1B. (2)證明: 取CD中點(diǎn)F,連接NF,MF, M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn),MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A

16、1DE平面MNF. MN平面A1ED.,-38-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)解: 取A1B的中點(diǎn)G,連接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC,又A1BBC=B, EG平面A1BC.,-39-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2.在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵.,

17、-40-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化. 2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.,-41-,審題答題指導(dǎo)立體幾何問題的審題技巧 與解題規(guī)范 在高考數(shù)學(xué)試題中,問題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多,因此在審題時(shí),要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì),抓住圖形的特征,利用圖形所提供信息來解決問題.,-42-,典例 (12

18、分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點(diǎn),求證: (1)直線BC1平面EFPQ; (2)直線AC1平面PQMN.,-43-,-44-,解題步驟第一步:由圖形特征(正方體、中位線)推證AD1BC1,FPAD1,從而證FPBC1,可得結(jié)論. 第二步:利用圖形特征ACBD及CC1平面ABCD推證BD平面ACC1,從而得AC1BD. 第三步:利用平行性證明MNAC1,PNAC1,可證AC1平面PQMN. 證明(1)連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1BC1,因?yàn)镕,P分別是AD,DD1的中點(diǎn),所以FPAD1.從而BC1FP.(3分) 而FP平面EFPQ,且BC1平面EF