1、2.4 測(cè)量誤差的合成和分配,誤差合成理論研究在間接測(cè)量中，如何根據(jù)若干個(gè)直接測(cè)量量的誤差求總測(cè)量誤差的問題；誤差分配理論則研究在給定系統(tǒng)總誤差的條件下，如何將總誤差分配給各測(cè)量分項(xiàng)，即如何對(duì)各分項(xiàng)誤差提出要求，以達(dá)到系統(tǒng)測(cè)量精度要求。,1誤差傳遞公式 設(shè)一個(gè)被測(cè)量 由兩個(gè)分項(xiàng) 、 ，其函數(shù)表達(dá)式為 則絕對(duì)誤差傳遞公式為 式中 被測(cè)量 的絕對(duì)誤差； 直接測(cè)量量 的絕對(duì)誤差； 直接測(cè)量量 的絕對(duì)誤差。,2.4.1 測(cè)量誤差的合成,(2-18),(2-19),相對(duì)誤差傳遞公式為 式中 被測(cè)量 的相對(duì)誤差； 直接測(cè)量 的絕對(duì)誤差； 直接測(cè)量 的絕對(duì)誤差。,(2-20),同理，當(dāng)被測(cè)量 由m個(gè)分項(xiàng)合成

2、時(shí),誤差傳遞公式為 式中 第i個(gè)測(cè)量分項(xiàng)的測(cè)量值； 直接測(cè)量量 的絕對(duì)誤差。 一般，若 的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時(shí)，常先求總合的絕對(duì)誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘方、開方關(guān)系時(shí)，常先求總合的相對(duì)誤差比較方便。,(2-21),(2-22),例1：用間接測(cè)量法測(cè)量電阻消耗的功率，若電阻、電壓和電流測(cè)量相對(duì)誤差分別為 、 和 ，問所求功率的相對(duì)誤差為多少？ 例2：用伏安法測(cè)電阻時(shí)，若測(cè)量電壓和電流的相對(duì)誤差為 、 ，試問所求電阻的相對(duì)誤差為多少？若 為4%， 為3%， 為多少？,2系統(tǒng)誤差的合成 若測(cè)量中各種隨機(jī)誤差可以忽略，則總和的系統(tǒng)誤差可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成。 式中 系統(tǒng)誤差的總和； 直接測(cè)量各分

3、項(xiàng)的系統(tǒng)誤差。,(2-23),3隨機(jī)誤差的合成 若各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差為零，則同理可求總合的隨機(jī)誤差 式中 隨機(jī)誤差的總和； 直接測(cè)量各分項(xiàng)的隨機(jī)誤差。,(2-24),已知各分項(xiàng)方差，求總合方差的公式為 標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為,(2-25),(2-26),1等準(zhǔn)確度分配 當(dāng)總誤差中各分項(xiàng)性質(zhì)相同（量綱相同）、大小相近時(shí)，采用等準(zhǔn)確度分法，即分配給各分項(xiàng)的誤差彼此相同。 若總誤差為 ，各分項(xiàng)的誤差為 ；標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 令 ； ，則分配給各項(xiàng)的誤差為,2.4.2 測(cè)量誤差的分配,(2-27),(2-28),例：有一個(gè)電源變壓器，已知初級(jí)線圈與兩個(gè)次級(jí)線圈的匝數(shù)比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程

4、為500V的交流電壓表測(cè)量次級(jí)線圈的總電壓，要求相對(duì)誤差小于2%，問應(yīng)該選用哪個(gè)級(jí)別的電壓表？,2等作用分配 當(dāng)分項(xiàng)誤差性質(zhì)不同時(shí)，采用等作用分配方法。在這種分配方式中，分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上不一定相等，但它們對(duì)測(cè)量誤差總和的作用是相同的。 對(duì)于系統(tǒng)誤差，在式（2-23）中，令 。則分配給各分項(xiàng)的誤差為,(2-29),對(duì)于隨機(jī)誤差，在式（2-25）中，令 ， 則分配給各分項(xiàng)的誤差為,(2-30),例：間接測(cè)量電阻上消耗的功率，已測(cè)出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW，若要求功率測(cè)量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差不大于5mW，問電壓和電流的測(cè)量誤差應(yīng)在多大范圍內(nèi)，才能

5、保證上述功率誤差的要求。,3抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配 當(dāng)分項(xiàng)誤差中某項(xiàng)誤差特別大時(shí)，就可以不考慮次要分項(xiàng)的誤差，或酌情分給次要分項(xiàng)少量誤差比例，確保主要項(xiàng)的誤差小于總合的誤差。 若主要誤差項(xiàng)有若干項(xiàng)，這時(shí)可把誤差在這幾個(gè)主要誤差項(xiàng)中分配，考慮采用等準(zhǔn)確度或等作用分配原則。,2.5 測(cè)量結(jié)果的描述與處理,對(duì)測(cè)量結(jié)果可采用正確度，精密度和準(zhǔn)確度三種評(píng)價(jià)方法。 1正確度 表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小程度。系統(tǒng)誤差愈大，正確度愈低；系統(tǒng)誤差愈小，正確度愈高。,2.5.1 測(cè)量結(jié)果的評(píng)價(jià),2精密度 表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的大小程度，也簡(jiǎn)稱為精度。隨機(jī)誤差的大小可用測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 來衡量, 越小，測(cè)量值越集

6、中，測(cè)量的精密度越高；反之，標(biāo)準(zhǔn)確偏差 越大，測(cè)量值越分散，測(cè)量精密度越低。,3準(zhǔn)確度 是測(cè)量結(jié)果系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合，表示測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度。在一定的測(cè)量條件下，總是力求測(cè)量結(jié)果盡量接近真值，即力求準(zhǔn)確度高。,圖2.3 測(cè)量結(jié)果的圖形評(píng)價(jià),（a）正確度高、精密度低,精密度、正確度均高,（b）精密度高、正確度低,1.誤差位對(duì)齊法 誤差位對(duì)齊法采用的方法是測(cè)量誤差的小數(shù)點(diǎn)后面有幾位，則測(cè)量數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)后面也取幾位。,2.5.2 測(cè)量數(shù)據(jù)的整理,例：用一塊0.5級(jí)的電壓表測(cè)量電壓，當(dāng)量程為10V時(shí)，指針落在大于8.5V的附近區(qū)域，這時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)應(yīng)取幾位？ 例：用一塊0.5級(jí)電壓表的100V

7、量程進(jìn)行測(cè)量，指示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。,2有效數(shù)字表示法 （1）有效數(shù)字 所謂有效數(shù)字，是指在測(cè)量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字算起到含有存疑數(shù)字為止的各位數(shù)字。一般數(shù)據(jù)的最后一位是欠準(zhǔn)確度的估計(jì)字，稱為存疑數(shù)字。,（2）數(shù)字的舍入規(guī)則 （1） 小于5舍去舍去部分的數(shù)值小于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，末位不變。 （2） 大于5進(jìn)1舍去部分的數(shù)值大于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，末位增1。 （3） 等于5時(shí)，取偶數(shù)舍去部分的數(shù)值恰好等于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，則當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，末位增1（將末位湊成偶數(shù)）。,例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。 12.434412

8、.43 63.7350163.74 0.694990.69 25.325025.32 17.695517.70 123.1150123.12 需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69 ，錯(cuò)誤做法是： 0.694990.69500.6950.70。 在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。,常用被測(cè)量的量值和它的不確定度共同表示測(cè)量結(jié)果，表達(dá)式為 式中 測(cè)量值的算術(shù)平均值； 被測(cè)量的不確定度，一般為 在實(shí)際應(yīng)用中，常以絕對(duì)誤差的形式表示。,2.5.3 測(cè)量結(jié)果的表示方法,(2-31),(

9、2-32),1將測(cè)量數(shù)據(jù)按先后次序列表。 2用公式 求算術(shù)平均值。 3用公式 求每一次測(cè)量值的 剩余誤差。 4用公式 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì) 值 。,2.5.4 等精度測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理,5.按萊特準(zhǔn)則判斷粗大誤差，即根據(jù) 剔除壞值。 6.重新計(jì)算 和 ，再判別有無粗大誤差。 7.用公式 求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn) 差估計(jì)值。 8.用公式 求算術(shù)平均值的不確 定度。 9.寫出測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式 。,實(shí)驗(yàn)曲線的繪制，通常采用平滑法和分組平均法。 1平滑法作圖 如圖2.4（a）所示，先將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 標(biāo)在直角坐標(biāo)上，再將 各點(diǎn)用折線依次相連，然后從起點(diǎn)到終點(diǎn)作一條平滑曲線，使其滿足以下等量關(guān)系 式中 曲線以下的面積和

10、； 曲線以上的面積和。,2.5.5 實(shí)驗(yàn)曲線的繪制,(2-33),平滑法作圖示意,如圖2.4(b)，將所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 標(biāo)在坐標(biāo)上，先標(biāo)出相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的中點(diǎn)，再將所有中點(diǎn)連成一條光滑的曲線；或用3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的重心點(diǎn)連成一條光滑曲線。由于取中點(diǎn)（或重心點(diǎn)）的過程就是取平均值的過程，所以減小了隨機(jī)誤差的影響。,2分組平均法,分組平均法作圖示意,2.6 最佳測(cè)量方案選擇,最佳測(cè)量方案是使總誤差為最小的測(cè)量方案，是使系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都減少到最小的測(cè)量方案。即做到 即上述和式中每一項(xiàng)都達(dá)到最小時(shí)，總誤差就會(huì)最小。,例：測(cè)量電阻R消耗的功率時(shí)，可間接測(cè)量電阻值R，電阻上的壓降U，流過電阻的電流I，設(shè)電阻、電壓、電流測(cè)量的相對(duì)誤差分別為R=2%，U=2%， I=3%，試確定測(cè)量的最佳方案。,本章小結(jié),由于儀器誤差、人身誤差、方法誤差和環(huán)境誤差的原因，所有的測(cè)量結(jié)果與真值都會(huì)有誤差。 誤差有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩種表示方法。 絕對(duì)誤差僅能說明測(cè)量結(jié)果偏離實(shí)際值的情況；相對(duì)誤差可以說明測(cè)量的準(zhǔn)確度，可分為實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差、滿度相對(duì)誤差。,根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。 在實(shí)際測(cè)量時(shí)應(yīng)根據(jù)誤差性質(zhì)進(jìn)行判斷