1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展，(1)幾何概念下的函數(shù)的早期函數(shù)概念，在17世紀(jì)，伽利利奧(意大利，15641642)幾乎自始至終都包含函數(shù)或變量之間關(guān)系的概念，用文字和比例語言表達(dá)函數(shù)之間的關(guān)系。笛卡爾(法國，15961650)表達(dá)了1673年前后函數(shù)之間的關(guān)系。我們已經(jīng)注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴性，但是因?yàn)槲覀儺?dāng)時(shí)沒有意識(shí)到需要提煉一般函數(shù)的概念，直到牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)后期建立微積分，數(shù)學(xué)家們才知道函數(shù)的一般意義，并且他們中的大多數(shù)被研究為曲線。(2)函數(shù)代數(shù)概念下的函數(shù)概念18世紀(jì)，1718年，約翰伯努利(John BernoulliJohann，Rui，16671748)在萊布尼茨的函

2、數(shù)概念的基礎(chǔ)上明確地定義了函數(shù)的概念：由任何形式的變量和常數(shù)組成的量，而伯努利把由變量x和常數(shù)以任何方式組成的量稱為“x的函數(shù)”，它在函數(shù)概念中表示為任何形式。包括代數(shù)公式和超越公式。18世紀(jì)中葉，歐拉(LEuler，Rui，17071783)給出了一個(gè)至今仍被使用的非常形象的功能符號(hào)。歐拉的定義是，一個(gè)變量的函數(shù)是一個(gè)由這個(gè)變量和一些數(shù)字組成的解析表達(dá)式，也就是說，任何形式的常數(shù)。他把約翰伯努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)。此外，它被分為代數(shù)函數(shù)(獨(dú)立變量之間的唯一代數(shù)運(yùn)算)和超越函數(shù)(三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和用變量的無理數(shù)表示的函數(shù))，還考慮了“任意函數(shù)”(代表任意曲線的函數(shù))。不難看出，歐拉給

3、出的函數(shù)定義比約翰伯努利給出的定義更普遍、更廣泛。(3)19世紀(jì)函數(shù)概念對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年，傅立葉(法國，17681830)發(fā)現(xiàn)有些函數(shù)可以用曲線、一個(gè)公式或多個(gè)公式表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否只能用一個(gè)公式表示的爭論，將對(duì)函數(shù)的理解推向了一個(gè)新的高度。1823年，柯西(法國，17891857)定義了它們。1837年，狄利克雷(德國，18051859)認(rèn)為如何建立X和Y之間的關(guān)系是無關(guān)緊要的。他擴(kuò)展了函數(shù)的概念，指出：“對(duì)于X在一定區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)確定值，Y都有一個(gè)或多個(gè)確定值，那么Y就稱為X的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義、等到康托(Cantor，Germany) 18451918)在數(shù)學(xué)

4、中占有重要地位時(shí)，Veblen (Veblen，USA，18801960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了現(xiàn)代函數(shù)的定義。(4)現(xiàn)代函數(shù)集合論概念下的函數(shù)，1914年，福斯多夫在集合論的框架下用“序?qū)Α眮矶x函數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)是避免了“變量”和“對(duì)應(yīng)”的模糊概念，但缺點(diǎn)是引入了“序?qū)Α钡哪：拍睢?921年，庫拉托夫斯基用集合的概念定義了“序?qū)Α?，即序?qū)?，這使得豪斯多夫的定義非常嚴(yán)格。在1930年，新的現(xiàn)代函數(shù)被定義為：如果總是有一個(gè)由集合N確定的元素Y對(duì)應(yīng)于集合M的任何元素X，則稱之為在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，表示為y=f(x)。元素X被稱為獨(dú)立變量，元素Y被稱為因變量。經(jīng)過300多年的錘煉和改造，函數(shù)概念的定義已經(jīng)形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這在20世紀(jì)40年代，狄拉克函數(shù)被發(fā)現(xiàn)是為了物理學(xué)研究的需要。它在一點(diǎn)上不是零，但是它在整條直線上的積分等于1，這在函數(shù)和積分的原始定義下是不可思議的