1、濰坊市2020學(xué)年下學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.將2封信隨意投入3個(gè)郵箱，不同的投法有（ ）A. 3種B. 6種C. 8種D. 9種【答案】D【解析】【分析】確定每封信的投法種數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】每封信都有種選擇，則投法共有種本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)隨機(jī)變量，則（ ）A. B. C. D. 3

2、【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式求得結(jié)果.【詳解】 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布中方差的求解，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則等于（ ）A. 1B. 4C. 1或3D. 3或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可得到方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由得：或解得：或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.兩名男生和兩名女生隨機(jī)站成一排照相，則兩名男生相鄰的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法求出兩名男生相鄰的情況種數(shù)，再根據(jù)古典概型求得結(jié)果.【詳解】?jī)擅猩噜彽那闆r共有：種則兩名男生相鄰的概率本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)

3、睛】本題考查古典概型求解概率問(wèn)題，關(guān)鍵是利用捆綁法求出符合要求情況種數(shù).6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則它的導(dǎo)函數(shù)的圖象可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系可排除；根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可排除.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)；可排除當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，可排除本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，關(guān)鍵是能夠明確函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)、零點(diǎn)之間的關(guān)系.7.某機(jī)構(gòu)為研究學(xué)生玩電腦游戲和對(duì)待作業(yè)量態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作

4、業(yè)不多總計(jì)喜歡玩電腦游戲251540不喜歡玩電腦游戲253560總計(jì)5050100（參考公式，可能用到數(shù)據(jù)：，），參照以上公式和數(shù)據(jù)，得到的正確結(jié)論是（ ）A. 有把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與對(duì)待作業(yè)量的態(tài)度有關(guān)B. 有的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與對(duì)待作業(yè)量的態(tài)度無(wú)關(guān)C. 有的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與對(duì)待作業(yè)量的態(tài)度有關(guān)D. 有的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與對(duì)待作業(yè)量的態(tài)度無(wú)關(guān)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)公式計(jì)算得到；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：有的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與對(duì)待作業(yè)量的態(tài)度有關(guān)本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)藍(lán)

5、球，現(xiàn)每次摸出一個(gè)球，不放回地摸取兩次，則在第一次摸到藍(lán)球的條件下，第二次摸到紅球的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別求解出“第一次摸到藍(lán)球”的概率；“第一次摸到藍(lán)球且第二次摸到紅球”的概率；根據(jù)條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記“第一次摸到藍(lán)球”為事件；“第二次摸到紅球”為事件則，所求概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.9.由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的奇偶數(shù)字相間且無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A. 60B. 48C. 36D. 24【答案】A【解析】【分析】分別計(jì)算出十萬(wàn)位為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況下組成數(shù)字的個(gè)數(shù)，利用加

6、法原理求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)首位為奇數(shù)時(shí)，無(wú)重復(fù)數(shù)字六位數(shù)個(gè)數(shù)為：個(gè)當(dāng)首位偶數(shù)時(shí)，無(wú)重復(fù)數(shù)字六位數(shù)個(gè)數(shù)為：個(gè)滿足題意的六位數(shù)總數(shù)有：個(gè)本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分類加法原理的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到排列的相關(guān)知識(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略首位不能為零的情況.10.若函數(shù)在上有小于O的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得導(dǎo)數(shù)后，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，求出極值點(diǎn)為，利用求得范圍.【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，不符合題意當(dāng)時(shí)，令，解得：時(shí)，；時(shí)，可知為的極值點(diǎn) 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠

7、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定極值點(diǎn).11.已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通過(guò)變形可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)，單調(diào)遞減；即在上恒成立；通過(guò)分離變量的方式可求得的取值范圍.【詳解】由且得：對(duì)，都有令，則則只需對(duì)，單調(diào)遞減即可即在上恒成立 令，則當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒃}中的恒成立的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，從而通過(guò)分離變量的方式來(lái)求解.12.楊輝是中國(guó)南宋時(shí)期的杰出數(shù)學(xué)家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多

8、性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，其中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.設(shè)，若的展開(kāi)式中，存在某連續(xù)三項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列.則稱具有性質(zhì).如的展開(kāi)式中，二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，依次成等差數(shù)列，所以具有性質(zhì).若存在，使具有性質(zhì)，則的最大值為（ ）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)連續(xù)三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列可列出，根據(jù)組合數(shù)公式進(jìn)行整理可得：，可知為完全平方數(shù)，分析可知.【詳解】由題意得：，整理可得：即：為完全平方數(shù)又且最大值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過(guò)化簡(jiǎn)判斷出為完全平方數(shù)，從而可分析求得結(jié)果.二、填空題.13.已知離散型隨機(jī)變

9、量的分布列為123則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率和為可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查分布列中概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，則_.【答案】1【解析】令x=1,得到=0，令x=0得到兩式子做差得到.故答案為：1.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)，則不等式的解集為_(kāi)【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)遞減，再通過(guò)可確定的解集，從而得到結(jié)果.【詳解】令，則在上單調(diào)遞減又當(dāng)時(shí)，即的解集為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用單調(diào)性求解不等式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自變量范圍的求解.16.甲乙兩名選

10、手進(jìn)行一場(chǎng)羽毛球比賽，采用三局二勝制，先勝兩局者贏得比賽，比賽隨即結(jié)束，已知任一局甲勝的概率為，若甲贏得比賽的概率為，則取得最大值時(shí)_【答案】【解析】【分析】利用表示出，從而將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值點(diǎn).【詳解】甲贏得比賽的概率：，令，則，令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)條件將表示為關(guān)于變量的函數(shù)，同時(shí)需要注意函數(shù)的定義域.三、解答題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列. (1)求展開(kāi)式的二

11、項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開(kāi)式中含的項(xiàng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】列出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差可求得；（1）根據(jù)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)公式可知，當(dāng)時(shí)為所求項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)依次為，整理可得：解得：（舍）或二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：（1）二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為：（2）令，解得：展開(kāi)式中含的項(xiàng)為【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的運(yùn)算、二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)、求指定項(xiàng)的問(wèn)題，考查對(duì)于二項(xiàng)式定理的知識(shí)的掌握，屬于常規(guī)題型.18.已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)設(shè)，是曲線

12、上的任意一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值.【答案】(1) (2)54【解析】【分析】（1）利用函數(shù)解析式求得切點(diǎn)坐標(biāo)、利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，根據(jù)直線點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）將所求面積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定取最大值的點(diǎn)，代入函數(shù)關(guān)系式求得最大值.【詳解】（1）由題意知： 又曲線在點(diǎn)的切線方程為：即：（2）由題意得：則：設(shè)，則令且 當(dāng)，的變化情況如下表：極大值由函數(shù)單調(diào)性可知，極大值即為其最大值當(dāng)時(shí)，即面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于變量的函數(shù).19.

13、某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品的產(chǎn)量（件）與相應(yīng)的耗電量（度）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示： 2345623578經(jīng)計(jì)算：，. (1)計(jì)算 的相關(guān)系數(shù)；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)生產(chǎn)10件產(chǎn)品所耗電的度數(shù). 附：相關(guān)系數(shù)，.【答案】(1)0.99 (2) ；14.6度【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求解出，和，將數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)的公式求得結(jié)果；（2）將數(shù)據(jù)代入公式即可求出回歸直線，將代入回歸直線即可求得預(yù)測(cè)值，即耗電的度數(shù).【詳解】（1）從表中數(shù)據(jù)可知：， （2）由題意知：線性回歸方程為根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)，當(dāng)生產(chǎn)件產(chǎn)品時(shí)，消耗的電量度數(shù)為：（度）【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解、最小二乘

14、法求解回歸直線、根據(jù)回歸直線求解預(yù)測(cè)值的問(wèn)題，屬于常規(guī)題型.20.某地區(qū)為調(diào)查新生嬰兒健康狀況，隨機(jī)抽取6名8個(gè)月齡嬰兒稱量體重（單位：千克），稱量結(jié)果分別為6，8，9，9，9.5，10.已知8個(gè)月齡嬰兒體重超過(guò)7.2千克，不超過(guò)9.8千克為“標(biāo)準(zhǔn)體重”，否則為“不標(biāo)準(zhǔn)體重”. (1)根據(jù)樣本估計(jì)總體思想，將頻率視為概率，若從該地區(qū)全部8個(gè)月齡嬰兒中任取3名進(jìn)行稱重，則至少有2名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率是多少？ (2)從抽取的6名嬰兒中，隨機(jī)選取4名，設(shè)X表示抽到的“標(biāo)準(zhǔn)體重”人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1) (2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出“標(biāo)準(zhǔn)體重”的頻率，用頻率代替概

15、率，可知抽取名嬰兒服從于二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式可求出至少有名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率；（2）由題意知服從于超幾何分布，利用超幾何分布求解出每個(gè)的取值所對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得分布列，利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得期望.【詳解】（1）抽取的名嬰兒中“標(biāo)準(zhǔn)體重”的頻率為故從該地區(qū)中任取名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率為：設(shè)“在該地區(qū)個(gè)月齡嬰兒中任取名，至少名為標(biāo)準(zhǔn)體重”為事件則：（2）由題意知，的可能取值為；的分布列為：【點(diǎn)睛】本題考查概率分布中的二項(xiàng)分布的概率求解、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠確定隨機(jī)變量服從的分布類型，從而確定所使用的公式，屬于常規(guī)題型.21.某市舉辦數(shù)學(xué)知

16、識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共5000名學(xué)生參加，競(jìng)賽分為初試和復(fù)試，復(fù)試環(huán)節(jié)共3道題，其中2道單選題，1道多選題，得分規(guī)則如下：參賽學(xué)生每答對(duì)一道單選題得2分，答錯(cuò)得O分，答對(duì)多選題得3分，答錯(cuò)得0分，答完3道題后的得分之和為參賽學(xué)生的復(fù)試成績(jī). (1)通過(guò)分析可以認(rèn)為學(xué)生初試成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，試估計(jì)初試成績(jī)不低于90分的人數(shù)； (2)已知小強(qiáng)已通過(guò)初試，他在復(fù)試中單選題的正答率為，多選題的正答率為，且每道題回答正確與否互不影響.記小強(qiáng)復(fù)試成績(jī)?yōu)?，求的分布列及?shù)學(xué)期望. 附：，.【答案】(1)114人 (2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布可知，利用總?cè)藬?shù)乘以概率可求得所求人數(shù)；（2）首先確定

17、所有可能的取值，計(jì)算出每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得分布列；再利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1），即，又 估計(jì)不低于分的人數(shù)有：（人）（2）的所有可能取值為；的分布列為：【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布求解概率和估計(jì)總體、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷離散型隨機(jī)變量可能的取值和對(duì)應(yīng)的概率，屬于常規(guī)題型.22.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)判斷函數(shù)能否有3個(gè)零點(diǎn)？若能，求出的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）不可能有個(gè)零點(diǎn)；說(shuō)明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的分布情況在不同的取值范圍情況下討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）采用反證法，假設(shè)有個(gè)零點(diǎn)，可知需滿足或；當(dāng)時(shí)，可得極大值，從而知不可能有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可得極大值，將其看做關(guān)于的函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可判斷出，從而可知不可能有個(gè)零點(diǎn)；可知假設(shè)錯(cuò)誤，即不可能有個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）由題意知：函數(shù)定義域?yàn)槿簦瑒t當(dāng)時(shí)，則為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，則為增