1、3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念 (1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無限趨近于0時(shí)， 比值 無限趨近于一個(gè)常數(shù)a，則稱f(x)在xx0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)a為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(derivative)，記作 . (2)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).記作f(x)或y.,知識(shí)梳理,f(x0),2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲

2、線yf(x)在點(diǎn)p(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即k . 3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,f(x0),0,x1,cos x,sin x,ex,axln a,4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 若f(x)，g(x)存在，則有 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x) ； (3) (g(x)0). 5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 若yf(u)，uaxb，則yxyuux，即yxyua.,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù). 3.af(x)bg(x)af(x)bg(x). 4.函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬

3、時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率.() (2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同.() (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).() (4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.() (5)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x.(),考點(diǎn)自測(cè),1.(教材改編)若f(x)xex，則f(1) .,答案,解析,2e,f(x)exxex，f(1)2e.,1,因?yàn)?cos x)sin x

4、，所以錯(cuò)誤；,答案,解析,3.(教材改編)曲線y5ex3在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為 .,答案,解析,5xy20,因?yàn)閥|x05e05， 所以曲線在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為y(2)5(x0)， 即5xy20.,4.(教材改編)若過曲線y 上一點(diǎn)p的切線的斜率為4，則點(diǎn)p的坐標(biāo) 為 .,答案,解析,5.(教材改編)函數(shù)f(x)x3的斜率等于1的切線有 條.,答案,解析,2,y3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，,題型分類深度剖析,題型一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)yx2sin x； (2)yln x ；,解答,y(x2)sin xx2.(sin x) 2xsin xx2cos x.,

5、解答,(3)y ；,解答,(4)ysin(2x )；,解答,(5)yln(2x5).,解答,令u2x5，則yln u，,(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡(jiǎn)則化簡(jiǎn)，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量. (2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 (1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x0 .,答案,解析,f(x)2 016ln xx 2 017ln x， 故由f(x0)2 017，得2 017ln x02

6、017， 則ln x00，解得x01.,1,(2)若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1) .,答案,解析,2,f(x)4ax32bx， f(x)為奇函數(shù)且f(1)2， f(1)2.,題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義 命題點(diǎn)1求切線方程 例2(1)(2016南通一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l與曲線yx2(x0) 和yx3(x0)均相切，切點(diǎn)分別為a(x1，y1)和b(x2，y2)，則 的值為 .,答案,解析,(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為 .,答案,解析,xy10,點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為

7、(x0，y0).,解得x01，y00.,切點(diǎn)為(1，0)，f(1)1ln 11. 直線l的方程為yx1，即xy10.,命題點(diǎn)2求參數(shù)的值 例3(1)(2016徐州模擬)函數(shù)yex的切線方程為ymx，則m .,答案,解析,e,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為p(x0，y0)，由yex，,得 ，,從而切線方程為 ，,又切線過定點(diǎn)(0，0)，從而 ，,解得x01，則me.,幾何畫板展示,(2)(2016蘇州暑假測(cè)試)已知函數(shù)f(x)x1 ，若直線l：ykx1與曲線yf(x)相切，則實(shí)數(shù)k .,答案,解析,則f(x0)k，即1 k，且kx01x01 ，,1e,幾何畫板展示,命題點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系 例4 如圖，點(diǎn)a(

8、2，1)，b(3，0)，e(x，0)(x0)，過點(diǎn)e作ob的垂線l.記aob在直線l左側(cè)部分的面積為s，則函數(shù)sf(x)的圖象為右圖中的 .,答案,解析,函數(shù)的定義域?yàn)?，)，當(dāng)x0，2時(shí)， 在單位長(zhǎng)度變化量x內(nèi)面積變化量s大于0且越來越大， 即斜率f(x)在0，2內(nèi)大于0且越來越大， 因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的； 當(dāng)x(2，3)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量x內(nèi)面積變化量s大于0且越來越小， 即斜率f(x)在(2，3)內(nèi)大于0且越來越小， 因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的且圖象是上凸的； 當(dāng)x3，)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量x內(nèi)面積變化量s為0， 即斜率f(x)在3，)內(nèi)為常數(shù)0，

9、此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面 (1)已知切點(diǎn)a(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0). (2)已知斜率k，求切點(diǎn)a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k. (3)若求過點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由 求解即可. (4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處 的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.,思維升華,答案,解析,3,設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，,解得x03或x02(舍去，不符合題意)，,即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.,答案,解析,1,典例若存

10、在過點(diǎn)o(0，0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.,求曲線過一點(diǎn)的切線方程，要考慮已知點(diǎn)是切點(diǎn)和已知點(diǎn)不是切點(diǎn)兩種情況.,錯(cuò)解展示,求曲線的切線方程,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列3,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò),糾錯(cuò)心得,幾何畫板展示,返回,解易知點(diǎn)o(0，0)在曲線yx33x22x上. (1)當(dāng)o(0，0)是切點(diǎn)時(shí)， 由y3x26x2，得y|x02， 即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y2x. 依題意44a0，得a1.,返回,課時(shí)作業(yè),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2016天津)已知函數(shù)f(x)(2x1)ex，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(0)的值為 .,答案

11、,解析,3,因?yàn)閒(x)(2x1)ex， 所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以f(0)3e03.,14,15,16,2.已知曲線yln x的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為 .,答案,解析,因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0，0)，所以ln x01，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.若直線yx是曲線yx33x2px的切線，則實(shí)數(shù)p的值為 .,答案,解析,y3x26xp，設(shè)切點(diǎn)為p(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.若f(x)2xf(1)x2，則f(0) .,答案,解析,4,f(x)2f

12、(1)2x， 令x1，則f(1)2f(1)2，得f(1)2， 所以f(0)2f(1)04.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2016江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中)若x軸是曲線f(x)ln xkx3的一條切線，則k .,答案,解析,e2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)點(diǎn)m(x0，y0)是曲線f(x)上的一點(diǎn)， 則曲線f(x)ln xkx3在點(diǎn)m處的切線方程為,x軸是曲線f(x)ln xkx3的一條切線，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,由題意可知f(

13、x) ，g(x) ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過點(diǎn)(2，7)，則a .,答案,解析,1,f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2. 所以函數(shù)在(1，f(1)處的切線方程為y(a2)(13a)(x1). 將(2，7)代入切線方程，得7(a2)13a， 解得a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2016南京模擬)曲線ylog2x在點(diǎn)(1，0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形 的面積等于 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,

14、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.若函數(shù)f(x) x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是 .,答案,解析,2，),f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,*10.已知曲線f(x)xn1(nn*)與直線x1交于點(diǎn)p，設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)p處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值為 .,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)(n1)xn

15、，kf(1)n1， 點(diǎn)p(1，1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，,x1x2x2 015,則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015 log2 016(x1x2x2 015)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln x，則f(1)_.,1,答案,解析,f(1)2f(1)1，則f(

16、1)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)_.,0,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由題圖可知f(3)1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.曲邊梯形由曲線yx21，y0，x1，x2所圍成，過曲線yx21 (x1，2)上一

17、點(diǎn)p作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大 的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為_,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求曲線在點(diǎn)p(2，4)處的切線方程；,解答,在點(diǎn)p(2，4)處的切線的斜率為y|x24. 曲線在點(diǎn)p(2，4)處的切線方程為y44(x2)， 即4xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求曲線過點(diǎn)p(2，4)的切線方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(x01)(x02)20，,解得x01或x02，,故所求的切線方程為xy20或4xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.設(shè)函數(shù)f(x)ax ，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4y 120. (1)求f(x)的解析式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15