1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù),基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)訓(xùn)練,題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.角的概念 (1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi) 繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的 ；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為 、和 . (2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是s_. (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊與 重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.,知識(shí)梳理,一條射線,正角,負(fù)角,圖形,零角,原點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸,|k360，kz,2.弧度制,(1)定義：把長度等于 長的弧所對(duì)的

2、圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè) ，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè) ，零角的弧度數(shù)是 . (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 _rad，1 rad_. (3)扇形的弧長公式：l ，扇形的面積公式：s_.,半徑,正數(shù),負(fù)數(shù),0,|r,3.任意角的三角函數(shù),任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p(x，y)時(shí)，sin ，cos ，tan _(x0). 三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：,y,x,r,r,4.三角函數(shù)線,如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p，過p作pmx軸，垂足為m，過a(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)t.,mp,om,at,1.三角函數(shù)值

3、的符號(hào)規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)p(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)o的距離為r，,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.( ) (2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)p的位置無關(guān).( ) (3)不相等的角終邊一定不相同.( ) (4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.( ) (5)若(0， )，則tan sin .( ) (6)若為第一象限角，則sin cos 1.( ),考點(diǎn)自測(cè),1.角870的終邊所在的象限是 a.第一象限 b.第二象限 c.第

4、三象限 d.第四象限,由8701 080210，知870角和210角終邊相同，在第三象限.,答案,解析,答案,解析,答案,解析,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一角及其表示,例1(1)若k18045(kz)，則在 a.第一或第三象限 b.第一或第二象限 c.第二或第四象限 d.第三或第四象限,當(dāng)k2n(nz)時(shí)，2n18045n36045，為第一象限角； 當(dāng)k2n1 (nz)時(shí)，(2n1)18045n360225，為第三象限角. 所以為第一或第三象限角.故選a.,答案,解析,(2)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為 _.,答案,解析,(1)利用終邊相同的

5、角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角. (2)利用終邊相同的角的集合s|2k，kz判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個(gè)角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1(1)終邊在直線y x上的角的集合是_.,答案,解析,答案,解析,3,題型二弧度制,例2(1)(2016舟山模擬)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是_.,設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長為2r，,答案,解析,已知扇形的圓心角是，半徑是r，弧長為l. 若100，r2，求扇形的面積；,解答

6、,若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù).,解答,由題意知l2r20，即l202r，,當(dāng)r5時(shí)，s的最大值為25.,即扇形面積的最大值為25，此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)為2 rad.,應(yīng)用弧度制解決問題的方法 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度. (2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決. (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2(1)將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是,答案,解析,將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角，

7、故a、b不正確；,(2)圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為,答案,解析,如圖，等邊三角形abc是半徑為r的圓o的內(nèi)接三角形，,作omab，垂足為m，,題型三三角函數(shù)的概念,命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用,答案,解析,由三角函數(shù)定義可知q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足,答案,解析,命題點(diǎn)2三角函數(shù)線,答案,解析,_.,在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，由圖可知，,(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點(diǎn)p的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)p的坐標(biāo). (2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知角

8、的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0， sin 0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a.(2,3 b.(2,3) c.2,3) d.2,3,cos 0，sin 0， 角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.,答案,解析,答案,解析,典例(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí) 圓上一點(diǎn)p的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正 向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于c(2,1)時(shí)， 的坐標(biāo)為_.,數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用,思想與方法系列6,思想方法指導(dǎo),答案,解析,(2)(2016合肥調(diào)研)函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域?yàn)開.,(2sin 2,1cos 2),(1

9、)如圖所示，過圓心c作x軸的垂線，垂足為a， 過p作x軸的垂線與過c作y軸的垂線交于點(diǎn)b.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧 2，即圓心角pca2，,所以xp2cb2sin 2，yp1pb1cos 2，,(2)34sin2x0，,利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍 (如圖陰影部分所示)，,返回,課時(shí)訓(xùn)練,a.mn b.mn c.nm d.mn,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若是第三象限角，則下列各式中不成立的是 a.sin cos 0 b.tan sin 0 c.cos tan 0 d.

10、tan sin 0,是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，則可排除a、c、d，故選b.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016杭州第二中學(xué)模擬)若390角的終邊上有一點(diǎn)p(a，3)，則a的值是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知點(diǎn)p(sin cos ，2)在第二象限，則的一個(gè)變化區(qū)間是,p(sin cos ，2)在第二象限，sin cos ，,1,2,3

11、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.1 b.1c.3 d.3,又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角， 所以sin 0，tan 0. 所以y1111.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,依題意知oaob2，aox30，box120， 設(shè)點(diǎn)b坐標(biāo)為(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,二,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,10.在(0,2)內(nèi)，使sin xcos

12、 x成立的x的取值范圍為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.一個(gè)扇形oab的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長ab.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，,如圖，過o作ohab于h，則aoh1 rad. ah1sin 1sin 1(cm)， ab2sin 1(cm). 圓心角的弧度數(shù)為2 rad，弦長ab為2sin 1 cm.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知角終邊上一點(diǎn)p，p到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比為34，且sin 0，求cos 2tan 的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又sin 0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若點(diǎn)p位于第四象限