1、第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間 的位置關(guān)系,最新考綱1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.,知 識 梳 理,1.平面的基本性質(zhì) (1)公理1：如果一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). (2)公理2：過_的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面. (3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有_公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.,兩點(diǎn),不在同一條直線上,一個(gè),2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線_. 等角定理：空間中如果兩

2、個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_. 4.異面直線所成的角,互相平行,相等或互補(bǔ),銳角(或直角),診 斷 自 測,1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) 精彩ppt展示,解析(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故錯(cuò)誤. (3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故錯(cuò)誤. (4)由于a不平行于平面，且a，則a與平面相交，故平面內(nèi)有與a相交的直線，故錯(cuò)誤.,答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2p52b1(2)改編)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，則異面直線b1c與ef所成的角的大小為() a

3、.30 b.45 c.60 d.90,解析連接b1d1，d1c，則b1d1ef，故d1b1c為所求的角.又b1d1b1cd1c，d1b1c60.,答案c,3.在下列命題中，不是公理的是() a.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 b.過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 c.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所 有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) d.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有 一條過該點(diǎn)的公共直線 解析選項(xiàng)a是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的. 答案a,4.(2016山東卷)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面 ，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交

4、”的() a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而，有公共點(diǎn)，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件. 答案a,5.若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是_. 答案b與相交或b或b,考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用,【例1】 如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，aa1的中點(diǎn).求證： (1)e，c，d1，f四點(diǎn)共面； (2)ce，d1f，da三線共點(diǎn).,證明(1)如圖，連

5、接ef，cd1，a1b. e，f分別是ab，aa1的中點(diǎn)，efa1b. 又a1bcd1，efcd1，e，c，d1，f四點(diǎn)共面. (2)efcd1，efcd1，ce與d1f必相交，設(shè)交點(diǎn)為p， 則由pce，ce平面abcd，得p平面abcd. 同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da， p直線da.ce，d1f，da三線共點(diǎn).,規(guī)律方法(1)證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法 直接法，證明直線平行或相交，從而證明線共面. 納入平面法，先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi). 輔助平面法，先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合. (2)證明點(diǎn)共線問題

6、的常用方法 基本性質(zhì)法，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上. 納入直線法，選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.,考點(diǎn)二判斷空間兩直線的位置關(guān)系,【例2】 (1)(2015廣東卷)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是() a.l與l1，l2都不相交 b.l與l1，l2都相交 c.l至多與l1，l2中的一條相交 d.l至少與l1，l2中的一條相交 (2)(2017唐山一中月考)如圖，g，h，m，n分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線gh，mn是異面直線的圖

7、形有_(填上所有正確答案的序號).,解析(1)法一由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交. 若ll1，ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線矛盾. 故l至少與l1，l2中的一條相交.,法二如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故a，b不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故c不正確.,(2)在圖中，直線ghmn； 在圖中，g，h，n三點(diǎn)共面， 但m面ghn，ngh，因此直線gh與mn異面； 在圖中，連接qm，gmhn， 因此gh與mn共面； 在圖中，g，m，n共面，但h面gmn，gmn，

8、 因此gh與mn異面. 所以在圖中g(shù)h與mn異面.,答案(1)d(2),規(guī)律方法(1)異面直線的判定方法 反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面. 定理：平面外一點(diǎn)a與平面內(nèi)一點(diǎn)b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)b的直線是異面直線. (2)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.,【訓(xùn)練2】 (1) 如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是bc1，cd1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是() a.mn與cc1垂直 b.mn與ac垂

9、直 c.mn與bd平行 d.mn與a1b1平行,(2)(2017武漢調(diào)研)a，b，c表示不同的直線，m表示平面，給出四個(gè)命題：若am，bm，則ab或a，b相交或a，b異面；若bm，ab，則am；若ac，bc，則ab；若am，bm，則ab.其中正確的為() a. b. c. d.,解析(1)如圖，連接c1d， 在c1db中，mnbd，故c正確； cc1平面abcd，bd平面abcd， cc1bd，mncc1，故a正確； acbd，mnbd， mnac，故b正確；,a1b1與bd異面，mnbd， mn與a1b1不可能平行，故選項(xiàng)d錯(cuò)誤. (2)對于，當(dāng)am，bm時(shí)，則a與b平行、相交或異面，為真命

10、題.中，bm，ab，則am或am，為假命題.命題中，a與b相交、平行或異面，為假命題.由線面垂直的性質(zhì)，命題為真命題，所以，為真命題.,答案(1)d(2)a,考點(diǎn)三異面直線所成的角,(2)根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面cb1d1與平面abcd的交線及平面cb1d1與平面abb1a1的交線所成的角.設(shè)平面cb1d1平面abcdm1.,平面平面cb1d1，m1m.又平面abcd平面a1b1c1d1， 且平面cb1d1平面a1b1c1d1b1d1，b1d1m1，b1d1m.,答案(1)60(2)a,規(guī)律方法(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖

11、中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移. (2)求異面直線所成角的三個(gè)步驟 作：通過作平行線，得到相交直線的夾角. 證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角. 求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.,答案d,思想方法 1.主要題型的解題方法 (1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定 一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”). (2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上.,2.判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理：平面外一點(diǎn)a與平面內(nèi)一點(diǎn)b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)b的直線是異面直線. (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面. 3.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化