1、專題七概率與統(tǒng)計(jì),-2-,-3-,7.1排列、組合與二項(xiàng)式定理,-5-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【例1】如圖,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色.如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù). 分析推理該題屬于“涂色”問題同一條棱上的兩端不能同色,解決此類問題,可以利用直接法,即逐個(gè)分步涂色;也可以根據(jù)四棱錐的幾何特征首先確定可以同色的點(diǎn),然后根據(jù)顏色的種數(shù)進(jìn)行分類求解.,-6-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解:(方法一)以點(diǎn)S,A,B,C,D的順序分步染色. 第一步,點(diǎn)S染色,有5種染色方法; 第二步,點(diǎn)A染色

2、,點(diǎn)A與S在同一條棱上,有4種染色方法; 第三步,點(diǎn)B染色,點(diǎn)B與S,A分別在同一條棱上,有3種染色方法; 第四步,點(diǎn)C染色,但考慮到點(diǎn)D與S,A,C相鄰,需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類,當(dāng)A與C同色時(shí),點(diǎn)D有3種染色方法;當(dāng)A與C不同色時(shí),因?yàn)镃與S,B也不同色,所以點(diǎn)C有2種染色方法,點(diǎn)D也有2種染色方法. 由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有543(13+22)=420種.,-7-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,(方法二)由題圖可知,在四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)中,可以同色的有A與C,B與D,故給這5個(gè)頂點(diǎn)涂色,可以使用的顏色種數(shù)為5,4,3.,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,不同的

3、染色方法共有120+240+60=420種.,-8-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,若將該題中的“四棱錐”換為三棱錐呢?,解:因?yàn)槿忮F的各個(gè)面都是三角形,所以不存在可以同色的兩個(gè)點(diǎn). 故三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)不同的染色方案為 =120種.,-9-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每一種方法都能完成這件事情,類與類之間是相互獨(dú)立的,不能重復(fù).即分類的標(biāo)準(zhǔn)是“不重不漏,一步完成”. 2.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,各個(gè)步驟相互依存,在各個(gè)步驟中任取一種方法,即是完成這個(gè)步驟的一種方法. 3.應(yīng)用兩種計(jì)數(shù)原理解題要注意分清要完成的事情是什么,完成該事情是分類

4、完成還是分步完成.分類的就應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,分步的就應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理.在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類再分步,在每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理.,-10-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,即時(shí)鞏固1如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為() A.24B.18 C.12D.9,B,解析:由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再?gòu)腇處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.,-11-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四

5、,排列與組合問題 【例2】在某次國(guó)際合作高峰論壇中,組委會(huì)要從6個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國(guó)外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)行提問,要求這三個(gè)媒體團(tuán)中既有國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)又有國(guó)外媒體團(tuán),且國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為() A.198B.268 C.306D.378 分析推理可根據(jù)3個(gè)媒體團(tuán)中國(guó)外媒體團(tuán)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論:有1個(gè)國(guó)外媒體團(tuán),則國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)為兩個(gè),由于“國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問”,因此國(guó)外媒體團(tuán)只能第二個(gè)提問,兩個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)全排列即可;有兩個(gè)國(guó)外媒體團(tuán),則國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)有1個(gè).求出不同的提問方式的種數(shù),由分類加法計(jì)數(shù)原理相加即得答案.,A,-12-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,

6、解析:可根據(jù)3個(gè)媒體團(tuán)中國(guó)外媒體團(tuán)的個(gè)數(shù)分兩種情況: 若選1個(gè)國(guó)外媒體團(tuán),則有2個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán). 因?yàn)閲?guó)內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)發(fā)問,所以只能是第一個(gè)和第三個(gè)發(fā)問,國(guó)外媒體團(tuán)第二個(gè)發(fā)問.,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,知共有90+108=198種提問方式.故選A.,-13-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法解決排列組合問題的基本方法有:(1)相鄰問題捆綁法;(2)不相鄰問題插空法;(3)多排問題單排法;(4)定序問題倍縮法;(5)多元問題分類法;(6)有序分配問題分步法;(7)交叉問題集合法;(8)至少或至多問題間接法;(9)選排問題先選后排法;(10)局部與整體問題排除法;(11)復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化

7、法.,-14-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,即時(shí)鞏固2已知安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有() A.12種B.18種 C.24種D.36種,D,-15-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用 【例3】(1)(2019全國(guó),理4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為() A.12B.16 C.20D.24 (2)在(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為() A.10B.20 C.30D.60 分析推理(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘法,只需寫出(1+x)4的展開式通項(xiàng),從而確定相應(yīng)的參數(shù)即可求出對(duì)應(yīng)的

8、項(xiàng);(2)首先根據(jù)字母分類,將三項(xiàng)化為兩項(xiàng),利用y的冪指數(shù)確定對(duì)應(yīng)項(xiàng),然后再次利用展開式通項(xiàng)即可求得所求項(xiàng)的系數(shù).上述兩題也可以根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則,利用排列組合的知識(shí)求出結(jié)果.,A,C,-16-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng),一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí),令指數(shù)為零;求有理項(xiàng)時(shí),令指數(shù)為整數(shù)等),解出項(xiàng)數(shù)r+1,代回通項(xiàng)公式即可.,-17-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為() A.-80B.-40 C.40D.80 (2)(2019浙江,13)在二項(xiàng)式( +x)

9、9的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.,D,5,-18-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(1)令二項(xiàng)式中的x為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為1+a, 1+a=2,a=1.,系數(shù)為有理數(shù),r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T6,T8,T10的系數(shù)為有理數(shù),共5個(gè).,-19-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)的和 【例4】(1)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn.若a1+a2+an=63,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是() A.15x2B.20 x3 C.21x3D.35x3 (2)(2019浙江金華十校聯(lián)考)已知(2+x)(

10、1-2x)7=a0+a1x+a2x2 +a8x8,則a1+a2+a8=,a3=. 分析推理(1)先根據(jù)已知求出n的值,由二項(xiàng)式可知展開式的系數(shù)也就是對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),故可直接判斷最值項(xiàng),再代入通項(xiàng)公式求出對(duì)應(yīng)的項(xiàng)即可;(2)根據(jù)二項(xiàng)展開式的特征,分別對(duì)x賦值求出a0和所有項(xiàng)系數(shù)之和,即可求得a1+a2+a8的值,直接代入通項(xiàng)公式即可求出a3.,B,-5,-476,-20-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(1)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,令x=0,得a0=1. 令x=1,則(1+1)n=a0+a1+a2+an=64, n=6. 又在(1+x)6的展開式中,二

11、項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)最大,(2)(2+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8, 令x=1,得a0+a1+a2+a8=(2+1)(1-21)=-3, 令x=0,得a0=2,a1+a2+a8=-5.,-21-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法1.二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少,應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,-1或0”,有時(shí)也取其他值. 2.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,則f(x)的展開式中各項(xiàng)系,-22-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,即時(shí)鞏

12、固4(1)在(1+3x)2(2-x)5的展開式中,所有的奇次冪的系數(shù)之和為.,-478,-1,解析:(1)設(shè)(1+3x)2(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7. 令x=1,得16=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7, 令x=-1,得972=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7, 由-,得-956=2(a1+a3+a5+a7), 解得a1+a3+a5+a7=-478. (2)令x=0,得a0=(1-0)2 019=1.,-23-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,-24-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,1.(2019河南十所名校階段性測(cè)試(七)小張

13、從家出發(fā)去看望生病的同學(xué),他需要先去水果店買水果,然后去花店買花,最后到達(dá)醫(yī)院.相關(guān)的地點(diǎn)都標(biāo)在如圖所示的網(wǎng)格紙上,網(wǎng)格線是道路,則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為() A.72B.56 C.48D.40,A,-25-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,解析:由題意可得從家到水果店有6種不同走法,從水果店到花店有3種不同走法,從花店到醫(yī)院有4種不同走法,因此一共有634=72種不同的走法.,-26-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,2.(2019北京朝陽區(qū)一模)某單位安排甲、乙、丙、丁4名工作人員從周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲連續(xù)兩天值班,則不同的安排方法種數(shù)為() A.18B.24 C.4

14、8D.96,B,解析:甲連續(xù)兩天值班,共有(周一、周二),(周二、周三),(周三、周四),(周四、周五)4種情況,剩下三個(gè)人進(jìn)行全排列,有 =6種排法,因此共有46=24種不同的安排方法,故選B.,-27-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,3.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=() A.0B.1 C.32D.-1,A,都小于0.則|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5. 在原二項(xiàng)展開式中令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.故選A.,-28-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,4.已知A,B,C,D,E為現(xiàn)在社會(huì)關(guān)注的5個(gè)熱點(diǎn).小王想利用暑假時(shí)間調(diào)查一下社會(huì)公眾對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度.若小王準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)査其中的4個(gè)熱點(diǎn),則D作為其中的一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn),但不作為第一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)的種數(shù)為.,72,解析:根據(jù)