1、冪、指、對函數(shù)高三數(shù)學集體備課材料一、 考綱要求指數(shù)、對數(shù)及指、對函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)模型及其應用是B級要求，冪函數(shù)、函數(shù)與方程是A級要求。二、基礎知識及有關考點題型知識網(wǎng)絡基本初等函數(shù)()冪函數(shù)有理指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪無理指數(shù)冪運算性質(zhì)定義對數(shù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)圖像與性質(zhì)定義定義圖像與性質(zhì)函數(shù)的應用函數(shù)模型及其應用函數(shù)與方程對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)幾類不同增長的函數(shù)模型二分法函數(shù)的零點用已知函數(shù)模型解決問題建立實際問題的函數(shù)模型指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、 分數(shù)指數(shù)冪1 根式如果，那么稱為的次實數(shù)方根；式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)方根的性質(zhì)：當n為奇數(shù)時，=a.當n為偶數(shù)時，=|a|=

2、2分數(shù)指數(shù)冪（1）分數(shù)指數(shù)冪的意義:a=，a=（a0，m、n都是正整數(shù)，n1）.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：二、指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應用指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=ax（a0且a1）叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的圖像底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖像關于y軸對稱.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：R； 值域：（0，）；過點（0，1）；即x=0時，y=1.當a1時，在R上是增函數(shù)；當0a1時，在R上是減函數(shù).畫指數(shù)函數(shù)y=ax（a0且a1）的圖像時，應該抓住兩點：一是過定點（0，1），二是x軸是其漸近線考點1 指數(shù)冪的運算例1計算：解題思路 根式的形式通常寫成分數(shù)指數(shù)冪后進行運算。解析原式考點2 指數(shù)函數(shù)的圖

3、象及性質(zhì)的應用題型1：由指數(shù)函數(shù)的圖象判斷底數(shù)的大小例2 下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的圖像，則a、b、c、d與1的大小關系是（ ）A; B；C；D解題思路 顯然,作為直線x=1即可發(fā)現(xiàn)a、b、c、d與1的大小關系解析 B;令x=1，由圖知,即題型2：解簡單的指數(shù)方程例3 方程的解是_解題思路將方程化為最簡單的指數(shù)方程解析；在方程的兩邊同時乘以得，從而得所以題型3：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域例4 已知2（）x2，求函數(shù)y=2x2x的值域.解題思路求函數(shù)y=2x2x的值域應利用考慮其單調(diào)性解析 222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得

4、4x1.又y=2x2x是4，1上的增函數(shù)，2424y221.故所求函數(shù)y的值域是，.考點3 與指數(shù)函數(shù)有關的含參數(shù)問題例5 要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范圍.解題思路欲求的取值范圍,應該由1+2x+4x0將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值解析 由題意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立.又=（）2x（）x=（）x+2+，當x（，1時值域為（，a對數(shù)及對數(shù)函數(shù)一、 對數(shù)的概念如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=bab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.二、對數(shù)的運算性質(zhì)loga（MN）=logaM+

5、logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）三、對數(shù)換底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.四、對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)y=logax（a0，a1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，圖像如下對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：（0，+）； 值域：R； 過點（1，0），即當x=1時，y=0.當a1時，在（0，+）上是增函數(shù)；當0a1時，在（0，+）上是減函數(shù)。五、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像關于直線y=x對稱.。考點1 對數(shù)式的運算例1已知用表示 解題思路應設法對數(shù)換底公式將換成以常用對數(shù)，并且設法將12

6、與45轉(zhuǎn)化為2、3來表示解析考點2對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)題型1：由函數(shù)圖象確定參數(shù)的值例2 函數(shù)ylog2ax1（a0）的圖象的對稱軸方程是x2，那么a等于( )A.;B.;C.2;D.2解題思路由于函數(shù)圖象的對稱軸方程是x2,所以可以利用特殊值法求解解析 如利用f（0）=f（4），可得0=log2|4a1|.|4a+1|=1.4a+1=1或4a+1=1.a0，a=.故選B題型2：求復合函數(shù)值域及單調(diào)區(qū)間例3 已知f（x）=log3(x1)2，求f（x）的值域及單調(diào)區(qū)間.解題思路通過研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性解析 真數(shù)3(x1)23，log3(x1)2log3=1，即f（x）的值域是1，+）.又3

7、(x1)20，得1x1+，x（1，1時，3(x1)2單調(diào)遞增，從而f（x）單調(diào)遞減；x1，1+）時，3(x1)2單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增.考點3 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應用題型1：利用對數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的單調(diào)性求值域 例4 已知x滿足, 函數(shù)y的值域為, 求a的值解題思路欲求a的值就設法尋找a的等式，但是這里沒有等式，我們應該利用函數(shù)的單調(diào)性，求出其值域，依據(jù)已知條件尋求關于a的不等式組解析 由由y, 當時, 為單調(diào)增函數(shù), 且,此時a的值不存在. 當時, 為單調(diào)減函數(shù),，.題型2：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)關系例5設函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的反函數(shù)，則f（4x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A

8、.0，+）；B.（，0；C.0，2）；D.（2，0解題思路 先根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)寫出函數(shù)f（x）的表達式，然后再研究復合函數(shù)的單調(diào)性求其單調(diào)遞增區(qū)間解析顯然，從而得，其定義域為.時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減.故選C冪函數(shù)一、冪函數(shù)的概念一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)二、冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點；當時函數(shù)的圖像都過原點；當時，的的圖像在第一象限是第一象

9、限的平分線（如）；當時，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）當時，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）當時，的的圖像不過原點，且在第一象限是“下滑”曲線（如）題型1：利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例1已知，試比較的大小；解題思路欲比較這幾個數(shù)的大小，因為它們的指數(shù)相同，應考慮某個冪函數(shù)的單調(diào)性解析 在上單調(diào)遞增，又 .題型2：由冪函數(shù)的性質(zhì)確定解析式 例2 已知函數(shù)f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函數(shù)，且在其定義域上是偶函數(shù)。（1）求p的值，并寫出相應的函數(shù)f(x)的解析式。（2）對于（1）中求得的函數(shù)f(x)，設函數(shù)g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，問是否存在實數(shù)q(q

10、0。f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，p2+p+0 解得：1p0關于x的方程4x+2x a+a+1=0有實數(shù)根等價于方程t2+at+a+1=0(t0)有正實數(shù)根,令f(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t0)有正實數(shù)根等價于（1）方程有一個正根一個負根：由f(0)0,得a0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像如圖所示，給出下列四個命題中： (1) 方程fg(x)=0有且僅有三個解； (2) 方程gf(x)=0有且僅有三個解； (3) 方程ff(x)=0有且僅有九個解； (4)方程gg(x)=0有且僅有一個解。-aaxyy=g(x)Oa-a-aaxyy=f(x)Oa-a那么，其中正確命題的個數(shù)是（ )A 1;B. 2;C. 3;D. 4解析 B；由圖可知，由左圖及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0有且僅有三個解，即(1)正確；由右圖及gf(x)=0得，由左圖知方程gf(x)=0有且僅有一個解，故(2)錯誤；由左圖及ff(x)=0得，又由左圖得到方程ff(x)=0最多有三個解，故(3)