1、第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理最新考綱1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.知 識 梳 理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步

2、乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.()解析分類加法計數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(

3、4)均不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為()A.6 B.5 C.3 D.2解析5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法.答案B3.(選修23P28B2改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.24種 B.30種C.36種 D.48種解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計數(shù)原理知共有432248(種).答案D4.5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一

4、個小組，則不同的報名方法有_種(用數(shù)字作答).解析每位同學(xué)都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報名，由分步乘法計數(shù)原理，總的報名方法共2222232(種).答案325.已知某公園有5個門，從任一門進，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析分兩步，第一步選一個門進有5種方法，第二步再選一個門出有4種方法，所以共有5420種走法.答案206.(2015廣東卷改編)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言_條；若每兩個同學(xué)互通一次電話，那么共通_次電話(均用數(shù)字作答).解析第1位同學(xué)給余下的39位同學(xué)各寫一條留言，共39條留言；依次下

5、去，第40位同學(xué)給余下的39位同學(xué)各寫一條留言，共39條留言，故全班共寫了40391 560條畢業(yè)留言.顯然互通一次電話的次數(shù)為1 560780.答案1 560780考點一分類加法計數(shù)原理【例1】 (1)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A.4種 B.6種 C.10種 D.16種(2)(2017溫州十校聯(lián)考)滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A.14 B.13 C.12 D.10解析(1)分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法(如圖)，同理，甲先傳給丙時

6、，滿足條件有3種踢法.由分類加法計數(shù)原理，共有336種傳遞方法.(2)當(dāng)a0，有x，b1，0，1，2有4種可能；當(dāng)a0時，則44ab0，ab1，()若a1時，b1，0，1，2有4種不同的選法；()若a1時，b1，0，1有3種可能；()若a2時，b1，0，有2種可能.有序數(shù)對(a，b)共有443213(個).答案(1)B(2)B規(guī)律方法分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標準.(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重

7、復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(2)中易漏a0這一類.【訓(xùn)練1】 (1)如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過一點).(2)若橢圓1的焦點在y軸上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，則這樣的橢圓的個數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析(1)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點，有ABO和ACO共2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有ABCO和ACBO共2種不同的走法，由分類加法計數(shù)原理可得共有1225種不同的走法.(2)當(dāng)m1時，n2，3，4，5，6，7共6個當(dāng)m2時，n3，4，5，6，7共5個；當(dāng)m3時，n4，5，6，7共4個；當(dāng)m4時，n5，6，7共3個

8、；當(dāng)m5時，n6，7共2個，故共有6543220個.答案(1)5(2)20考點二分步乘法計數(shù)原理【例2】 (1)(2017鄭州二模)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有()A.10種 B.25種 C.52種 D.24種(2)定義集合A與B的運算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，則集合A*B的元素個數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析(1)每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計數(shù)原理，共有24種不同的走法.(2)顯然(a，a)，(a，c)等均為A*B中的關(guān)系，確定A*B中的元素是A中取一個元素來確定x，B中取一個元素來確定y，由分

9、步計數(shù)原理可知A*B中有3412個元素.答案(1)D(2)12規(guī)律方法(1)在第(1)題中，易誤認為分5步完成，錯選B.(2)利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意：要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.【訓(xùn)練2】 (1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有()A.24種 B.4種 C.43種 D.34種(2)設(shè)集合A1，0，1，B0，1，2，3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B中元素的個數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法.

10、由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法.(2)易知AB0，1，AB1，0，1，2，3，x有兩種取法，y有5種取法.由分步乘法計數(shù)原理，A*B的元素有2510(個).答案(1)C(2)10考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】 (1)(2015四川卷)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A.144個 B.120個 C.96個 D.72個(2)(2017杭州七校聯(lián)考)如圖所示，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析(1)由題意，首位數(shù)字只能是

11、4，5，若萬位是5，則有3A72(個)；若萬位是4，則有2A個48(個)，故比40 000大的偶數(shù)共有7248120(個).選B.(2)按區(qū)域1與3是否同色分類：區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)有A種方法.區(qū)域1與3涂同色，共有4A24種方法.區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.這時共有A21372種方法.由分類加法計數(shù)原理， 不同的涂色種數(shù)為247296.答案(1)B(2)96規(guī)律方法(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步.在分步時可能又

12、用到分類加法計數(shù)原理.注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.(2)解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.第(2)題中，相鄰區(qū)域不同色，是按區(qū)域1與3是否同色分類處理.【訓(xùn)練3】 (1)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A.240 B.204 C.729 D.920(2)從一架鋼琴挑出的十個音鍵中，分別選擇3個，4個，5個，10個鍵同時按下，可發(fā)出和聲，若有一個音鍵不同，則發(fā)出不同的和聲，則這樣的不同的和聲數(shù)為_(用數(shù)字作答).

13、解析(1)若a22，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a23，則“凸數(shù)”有236(個).若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412(個)，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972(個).所有凸數(shù)有26122030425672240(個).(2)由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，共有8種不同的類型，當(dāng)有3個鍵同時按下，有C種結(jié)果，當(dāng)有4個鍵同時按下，有C種結(jié)果，以此類推，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得到共有CCCCCCCC(CCC)210(11045)968.答案(1)A(2)968思想方法1.應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確分類還是分步.在處理具體的應(yīng)用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標準是什么.選擇合理的標準處理事情，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏.2.(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).(2)分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，