1、6.3等比數(shù)列考綱解讀考點考綱內(nèi)容要求浙江省五年高考統(tǒng)計201320142015201620171.等比數(shù)列的有關概念及運算1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.理解18(1),6分18(1),7分3,5分10(文),2分17(文),約3分20(1),約3分17(1)(文),約4分22,約5分2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應用1.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.2.能利用等比數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.3.能運用數(shù)列的等比關系解決實際問題.掌握19(文),約3分18(2),7分17(2)(文),約4分分析解讀1.考查等比數(shù)列的定義與判定,通項公式、前n項和的求解

2、,等比數(shù)列的性質(zhì)等知識.2.等比數(shù)列與不等式結(jié)合的范圍求解、大小比較、不等式證明是高考的熱點.3.預計2019年高考試題中,對等比數(shù)列的考查仍以概念、性質(zhì)、通項、前n項和等基本量為主,以中檔題形式出現(xiàn).五年高考考點一等比數(shù)列的有關概念及運算 1.(2017課標全國理,3,5分)我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞答案B2.(2014重慶,2,5分)對任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是() A

3、.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列答案D3.(2017課標全國理,14,5分)設等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 =.答案-84.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=.答案325.(2016課標全國,15,5分)設等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為.答案646.(2014天津,11,5分)設an是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1

4、的值為.答案-7.(2017課標全國文,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析本題考查等差、等比數(shù)列.(1)設an的公比為q,由題設可得解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.8.(2016課標全國,17,12分)已知數(shù)列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式;(2)若S5=,求.解析

5、(1)由題意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以=.因此an是首項為,公比為的等比數(shù)列,于是an=.(6分)(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得=-1.(12分)9.(2016四川,19,12分)已知數(shù)列an的首項為1,Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式;(2)設雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=,證明:e1+e2+en.解析(1)由已知,

6、Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對所有n1都成立.所以,數(shù)列an是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以雙曲線x2-=1的離心率en=.由e2=,解得q=.因為1+q2(k-1)q2(k-1),所以qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=,故e1+e2+

7、en.10.(2015四川,16,12分)設數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設數(shù)列的前n項和為Tn,求Tn.解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n.(2)由(1)得=.所以Tn=+=1-.教師用書專用(1

8、116)11.(2013江西,3,5分)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,的第四項等于()A.-24B.0C.12D.24答案A12.(2013課標全國,3,5分)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=()A.B.-C.D.-答案C13.(2013江蘇,14,5分)在正項等比數(shù)列an中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+ana1a2an的最大正整數(shù)n的值為.答案1214.(2014江蘇,7,5分)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是.答案415.(2014課標,17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3

9、an+1.(1)證明是等比數(shù)列,并求an的通項公式;(2)證明+.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+=,所以是首項為,公比為3的等比數(shù)列.an+=,因此an的通項公式為an=.(2)證明:由(1)知=.因為當n1時,3n-123n-1,所以.于是+1+=.所以+.16.(2013湖北,18,12分)已知等比數(shù)列an滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)是否存在正整數(shù)m,使得+1?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.解析(1)設等比數(shù)列an的公比為q,則由已知可得解得或故an=3n-1,或an=-5(-1)n-1.(2)

10、若an=3n-1,則=,故是首項為,公比為的等比數(shù)列,從而=1.若an=(-5)(-1)n-1,則=-(-1)n-1,故是首項為-,公比為-1的等比數(shù)列,從而=故1.綜上,對任何正整數(shù)m,總有1.故不存在正整數(shù)m,使得+1成立.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用1.(2015課標,4,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B2.(2014大綱全國,10,5分)等比數(shù)列an中,a4=2,a5=5,則數(shù)列l(wèi)g an的前8項和等于()A.6B.5C.4D.3答案C3.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a

11、1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項和等于.答案2n-14.(2015湖南,14,5分)設Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=.答案3n-15.(2014安徽,12,5分)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.答案16.(2013天津,19,14分)已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設Tn=Sn-(nN*),求數(shù)列Tn的最大項的值與最小項的值.解析(1)設等比數(shù)列an的公比為q,因

12、為S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2=.又an不是遞減數(shù)列且a1=,所以q=-.故等比數(shù)列an的通項公式為an=(-1)n-1.(2)由(1)得Sn=1-=當n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小,所以1SnS1=,故0Sn-S1-=-=.當n為偶數(shù)時,Sn隨n的增大而增大,所以=S2SnSn-S2-=-=-.綜上,對于nN*,總有-Sn-.所以數(shù)列Tn最大項的值為,最小項的值為-.教師用書專用(79)7.(2013福建,9,5分)已知等比數(shù)列an的公比為q,記bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(

13、n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN*),則以下結(jié)論一定正確的是()A.數(shù)列bn為等差數(shù)列,公差為qmB.數(shù)列bn為等比數(shù)列,公比為q2mC.數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為D.數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為答案C8.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+ln a20=.答案509.(2013北京,10,5分)若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=;前n項和Sn=.答案2;2n+1-2三年模擬A組20162018年模擬基礎題組考點一等比數(shù)列的有關概念

14、及運算 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學期中,2)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=2,S6=18,則等于() A.-3B.5C.-31D.33答案D2.(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,8)已知數(shù)列an的首項a1=1,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=2,則滿足0,則a10B.若T2n+10,則a10C.若T3n+10D.若T4n+10,則a1+-=0,即cn+1cn,因此數(shù)列cn是單調(diào)遞增的,所以(cn)min=c1=.(9分)(3)證明:當n2時,=(-)+(-)+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=+c2+c1+S1,由(2)知c2,又c1=,S1=1,c2=,所以(n-1)c2+

15、c1+S1=(n-1)+1=.(15分)7.(2017浙江溫州模擬考(2月),22)設數(shù)列an滿足an+1=-an+1(nN*),Sn為數(shù)列an的前n項和,證明:(1)當0a11時,0an1;(2)當a11時,an(a1-1);(3)當a1=時,n-Sn1,所以an1(nN*).從而an+1-1=(-an+1)-1=-an=an(an-1),即=ana1,(6分)于是an-1(a1-1),即an(a1-1)(n2,nN*),經(jīng)檢驗,當n=1時,不等式也成立,故當a11時,an(a1-1).(8分)(3)當a1=時,由(1)知,0an1(nN*),故Snbn+10(nN*),由an+1=-an+

16、1,可得=bn-bn+1,(10分)從而+=(b1-b2)+(b2-b3)+(bn-bn+1)=b1-bn+1n,故n,即bn(nN*),(12分)注意到bn=(-),故b1+b2+bn(-)+(-)+(-)=,即n-Snn-,所以當a1=時,n-Snn.(15分)C組20162018年模擬方法題組方法1等比數(shù)列中“基本量法”的解題策略 1.(2016浙江高考模擬沖刺(五),17)已知等差數(shù)列an,等比數(shù)列bn滿足:a1+a2=a3,b1b2=b3,且a3,a2+b1,a1+b2成等差數(shù)列,a1,a2,b2成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式;(2)若數(shù)列cn滿足cn=,求數(shù)列cn的前

17、n項和Sn.解析(1)設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,依題意,得解得a1=d=1,b1=q=2.故an=n,bn=2n.(8分)(2)cn=-,Sn=+,Sn=-=.(15分)方法2等比數(shù)列的性質(zhì)及應用的解題策略2.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a3,a5-1,a6成等差數(shù)列,a2,a4-1,a7-1成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式及Sn;(2)是否存在正整數(shù)n和k,使得Sn,Sn+1,Sn+k成等比數(shù)列?若存在,求出n和k的值;若不存在,請說明理由.解析(1)設等差數(shù)列an的公差為d,由a3,a5-1,a6成等差數(shù)列,得2(a1+4d-1)=a1+2d+a1+5

18、d,解得d=2.由a2,a4-1,a7-1成等比數(shù)列,得=(a1+2)(a1+11),解得a1=1.則an=1+(n-1)2=2n-1,故Sn=n=n2.(2)存在.假設存在正整數(shù)n和k,使得Sn ,成等比數(shù)列,由(1)知Sn=n2,Sn+1=(n+1)2,Sn+k=(n+k)2,則=SnSn+k,即(n+1)4=n2(n+k)2.又因為n,kN*,所以(n+1)2=n(n+k),經(jīng)整理得n(k-2)=1.考慮到n,k均為正整數(shù),所以n=1,k=3.所以,存在正整數(shù)n=1,k=3符合題目的要求.方法3等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題策略3.已知數(shù)列an滿足:a1=1,an+1=(nN*),設bn=a2n-1.(1)求b2,b3,并證明bn+1=2bn+2;(2)證明:數(shù)列bn+2為等比數(shù)列;若a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值.解析(1)b2=a3=2a