1、不等式選講,算術(shù)-幾何平均不等式,一、復(fù)習(xí),（當(dāng)且僅當(dāng) 取“ ”）,（當(dāng)且僅當(dāng) 取“ ”）,二元基本不等式,二元基本不等式,二、新課,算術(shù)-幾何平均不等式主要用于求最大值或最小值。,三、新課應(yīng)用,例1、求以下解析式的最值。 若 、 且 ，求 的最小值； 若 、 且 ，求 的最小值； 若 、 且 ，求 的最大值； 若 、 且 ,求 的最大值。,練習(xí)： 求 的最小值；,若 ，求 的最小值；,若 ，求 的最小值；,若 ,求 的最大值；,若 ，求 的最大值；,若 ,求 的最大值。,例2、如圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線(xiàn)做成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方

2、形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？,練習(xí)：P10 T13、14,解：設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)是x，盒子的容積為V，則：,當(dāng)且僅當(dāng)a-2x=4x，即 時(shí)，不等式取等號(hào)。,練習(xí)：P10 T7、9,例3、設(shè)a 、b、 c為不全相等的正數(shù)。 證： ,作業(yè)：P10 T10、11,解：由a 、b、 c為不全相等的正數(shù)。,補(bǔ)充：,1、若 ,且 ，則 的最小值是：,2、 ， 的最小值是：,3、 ， 恒成立，則 的取值范圍是：,不等式選講,絕對(duì)值不等式,定理1 如果a, b是實(shí)數(shù)，則 |a+b|a|+|b| 當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立。,這個(gè)不等式稱(chēng)為 絕對(duì)值三角不等式,證明:10. 當(dāng)ab0時(shí),20. 當(dāng)ab0

3、時(shí),綜合10,20知定理成立.,定理1 如果a, b是實(shí)數(shù)，則|a+b|a|+|b| 當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立。,推論2 如果a、b、c是實(shí)數(shù), - 那么|a-c|a-b|+|b-c| - 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c) 0時(shí),等號(hào)成立.,推論3 如果a、b是實(shí)數(shù), -那么|a|-|b|a+b|a|+|b|,例1 已知0，|x-a|,|y-b|， 求證：|2x+3y-2a-3b|5.,證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5 所以 |2x+3y-2a-3b|5

4、,練習(xí)：課本P20第1題 .求證：(1)|a+b|+|a-b|2|a| (2)|a+b| -|a-b|2|b|,D,C,類(lèi)型1：形如|x|a (a0) 不等式解法, 不等式|x|a的解集為x|-axa, 不等式|x|a的解集為x|xa ,絕對(duì)值不等式的解法,轉(zhuǎn)化為類(lèi)型1：,類(lèi)型2.型如|f(x)|c,|f(x)|c(c0)不等式解法,定義法（根據(jù)絕對(duì)值的定義消絕對(duì)值符號(hào)）,然后再求x，得原不等式的解集,例1： 解下列不等式 (1) |3x-1|2 (2) |5x-6|6-x,變式1： |3x-1|-2 變式2： |3x-1|0 變式2： |3x-1|0,解答,推廣1：型如 |f(x)|c, |

5、f(x)|c(cR)不等式解法,推廣2：型如 |f(x)|g(x), |f(x)|g(x)不等式解法,定義法（根據(jù)絕對(duì)值的定義消絕對(duì)值符號(hào)）,試解下列不等式：,課堂練習(xí)一：,(4)|x-1 | 2(x-3),x5,類(lèi)型3.型如|ax+b|+|cx+d|k(kR)不等式解法,例2： 解不等式|x-1|+|x+2|5,方法一：利用絕對(duì)值的幾何意義，體現(xiàn)了 數(shù)型結(jié)合的思想。,解:|x-1|+|x+2|=5的解為x=-3或x=2,所以原不等式的解為,解：當(dāng)x1時(shí)，原不等式同解于,x 2,x-3,綜合上述知不等式的解為,3當(dāng)x-2時(shí)，原不等式同解于,2當(dāng)-2x1時(shí)，原不等式同解于,方法二：利用|x-1|

6、=0，|x+2|=0的解，將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間，然后在這三個(gè)區(qū)間上將原不等式化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式求解現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想,例2： 解不等式|x-1|+|x+2|5,(x-1)+(x+2)-5 x1,-(x-1)+(x+2)-5 -2x1,-(x-1)-(x+2)-5 x-2,解 原不等式化為|x-1|+|x+2|-5 0,令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,則,由圖象知不等式 的解為,方法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用了函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。,例2： 解不等式|x-1|+|x+2|5,法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義,法三：構(gòu)造函數(shù)法,類(lèi)型3.型如|ax+b|+|cx+d|k(k

7、R)不等式解法,法二、法三本質(zhì)一致，都是利用定義消絕對(duì)值符號(hào)，不同之處在于在消絕對(duì)值符號(hào)后，法二直接解不等式，法三間接解不等式（已知函數(shù)的值域求定義域）,（零點(diǎn)分區(qū)間法）,3.不等式 有解的條件是( ),1. 解不等式|2x-4|-|3x+9|1,B,4.|2x+1 | |x+2 |,x|x1,B,例1： 解下列不等式 (1) |3x-1|2,例1： 解下列不等式 (2) |5x-6|6-x,返回,不等式選講,放縮法證明不等式,放縮法：證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的。,常見(jiàn)方法： 1、分式放縮； 2、利用已知結(jié)論放縮； 3、裂項(xiàng)放縮； 4、先放縮后求和。,1、分式放縮,一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大。,例1、若 ，證明：,練習(xí)1、若 ，證明：,2、利用已知結(jié)論放縮,例2、若 ，證明：,利用已知的公式或恒不等式，把欲證明不等式 變形后再放縮。（如 或 基本不等式）,3、裂項(xiàng)放縮,若不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解。,例3、已知 ，求證：,練習(xí)3：已知 ，求證：,4、先放縮后求和,將不等式中的全部項(xiàng)或部分項(xiàng)先放大或縮小，再利用數(shù)列的求和方法求和