1、高考專題突破四 高考中的立體幾何問(wèn)題,考點(diǎn)自測(cè),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,考點(diǎn)自測(cè),1.正三棱柱abca1b1c1中，d為bc中點(diǎn)，e為a1c1中點(diǎn)，則de與平面a1b1ba的位置關(guān)系為 a.相交 b.平行 c.垂直相交 d.不確定,答案,解析,如圖取b1c1中點(diǎn)為f，連接ef，df，de， 則efa1b1，dfb1b， 平面efd平面a1b1ba， de平面a1b1ba.,2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形： x、y、z均為直線；x、y是直線，z是平面；z是直線，x、y是平面；x、y、z均為平面. 其中使“xz且yzxy”為真命題的是 a. b. c. d.,

2、由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題.,答案,解析,3.(2016成都模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(左視圖中的弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是 a.203 b.243 c.204 d.244,答案,解析,根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體和一個(gè)半圓柱的組合體，其中正方體的棱長(zhǎng)為2，半圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，故該幾何體的表面積為4522 203.,4.如圖，在四棱錐vabcd中，底面abcd為正方形，e、f分別為側(cè)棱vc、vb上的點(diǎn)，且滿足vc3ec，af平面bde，則 _.,答案,解析,2,連接ac交bd于點(diǎn)o，連接eo，取ve的中點(diǎn)m，連接am，m

3、f， vc3ec，vmmeec， 又aoco，ameo， 又eo平面bde， am平面bde， 又af平面bde，amafa， 平面amf平面bde， 又mf平面amf，mf平面bde， 又mf平面vbc，平面vbc平面bdebe，,5.如圖，在三棱錐pabc中，d，e，f分別為棱pc，ac，ab的中點(diǎn).若paac，pa6，bc8，df5.則直線pa與平面def的位置關(guān)系是_；平面bde與平面abc的位置關(guān)系是_.(填“平行”或“垂直”),答案,解析,平行,垂直,因?yàn)閐，e分別為棱pc，ac的中點(diǎn)， 所以depa. 又因?yàn)閜a 平面def，de平面def， 所以直線pa平面def. 因?yàn)閐，e

4、，f分別為棱pc，ac，ab的中點(diǎn)，pa6，bc8，,所以depa，de pa3，ef bc4.,又因?yàn)閐f5，故df2de2ef2， 所以def90，即deef. 又paac，depa，所以deac.,因?yàn)閍cefe，ac平面abc，ef平面abc， 所以de平面abc，又de平面bde， 所以平面bde平面abc.,題型分類深度剖析,例1(2016全國(guó)甲卷)如圖，菱形abcd的對(duì)角線ac與bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)e，f分別在ad，cd上，aecf，ef交bd于點(diǎn)h，將def沿ef折到def的位置. (1)證明：achd；,題型一求空間幾何體的表面積與體積,證明,由已知得acbd，adcd， 故ac

5、ef，由此得efhd，折后ef與hd保持垂直關(guān)系，即efhd，所以achd.,解答,所以oh1，dhdh3，,故odoh. 由(1)知achd，又acbd，bdhdh， 所以ac平面dhd，于是acod， 又由odoh，acoho，所以od平面abc.,(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積. (2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解. (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的

6、高為1，底面邊長(zhǎng)為2 ，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖).求： (1)這個(gè)正三棱錐的表面積；,解答,(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.,解答,設(shè)正三棱錐pabc的內(nèi)切球球心為o，連接op，oa，ob，oc，而o點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r. vpabcvopabvopbcvopacvoabc,題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,例2(2016濟(jì)南模擬)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直于底面，abbc，aa1ac2，bc1，e， f分別是a1c1，bc的中點(diǎn). (1)求證：平面abe平面b1bcc1；,證明,在三棱柱abca1b1c1中，bb1底面abc. 因?yàn)閍b平

7、面abc， 所以bb1ab. 又因?yàn)閍bbc，bcbb1b， 所以ab平面b1bcc1. 又ab平面abe， 所以平面abe平面b1bcc1.,證明,(2)求證：c1f平面abe；,方法一如圖1，取ab中點(diǎn)g，連接eg，fg. 因?yàn)閑，f分別是a1c1，bc的中點(diǎn)，,因?yàn)閍ca1c1，且aca1c1， 所以fgec1，且fgec1， 所以四邊形fgec1為平行四邊形， 所以c1feg. 又因?yàn)閑g平面abe，c1f 平面abe， 所以c1f平面abe.,方法二如圖2，取ac的中點(diǎn)h，連接c1h，fh. 因?yàn)閔，f分別是ac，bc的中點(diǎn)，所以hfab， 又因?yàn)閑，h分別是a1c1，ac的中點(diǎn)，

8、所以ec1綊ah， 所以四邊形eahc1為平行四邊形， 所以c1hae， 又c1hhfh，aeaba， 所以平面abe平面c1hf，又c1f平面c1hf， 所以c1f平面abe.,解答,(3)求三棱錐eabc的體積.,因?yàn)閍a1ac2，bc1，abbc，,所以三棱錐eabc的體積,(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問(wèn)題，再將“線面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問(wèn)題.證明c1f平面abe：()利用判定定理，關(guān)鍵是在平面abe中找(作)出直線eg，且滿足c1feg.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個(gè)平面c1hf滿足面面平行，實(shí)施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化. (

9、2)計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時(shí)，注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.過(guò)a作afsb，垂足為f，點(diǎn)e，g分別是棱sa，sc的中點(diǎn). 求證：(1)平面efg平面abc；,證明,由asab，afsb知f為sb中點(diǎn)， 則efab，fgbc，又effgf，abbcb， 因此平面efg平面abc.,(2)bcsa.,證明,由平面sab平面sbc，平面sab平面sbcsb，af平面sab，afsb， 所以af平面sbc，則afbc. 又bcab，afaba，則bc平面sab， 又sa平面

10、sab，因此bcsa.,題型三平面圖形的翻折問(wèn)題,例3(2015陜西)如圖1，在直角梯形 abcd中，adbc，bad ，abbc ada，e是ad的中點(diǎn)，o是ac與be的交點(diǎn).將abe沿be折起到圖2中a1be的位置，得到四棱錐a1 -bcde. (1)證明：cd平面a1oc；,證明,在題圖1中，連接ec， 因?yàn)閍bbc ada，bad ， adbc，e為ad中點(diǎn)，所以bc綊ed，bc綊ae， 所以四邊形bcde為平行四邊形，故有cdbe， 所以abce為正方形，所以beac， 即在題圖2中，bea1o，beoc，且a1ooco， 從而be平面a1oc，又cdbe， 所以cd平面a1oc.,

11、(2)當(dāng)平面a1be平面bcde時(shí)，四棱錐a1-bcde的體積為36 ，求a的值.,解答,由已知，平面a1be平面bcde， 且平面a1be平面bcdebe， 又由(1)知，a1obe，所以a1o平面bcde， 即a1o是四棱錐a1-bcde的高，,平行四邊形bcde的面積sbcaba2，,平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3(2016深圳模擬)如圖(1)，四邊形abcd為矩形，pd平面abcd，ab1，bcpc2，作如圖(2)折疊，折痕efdc.其中

12、點(diǎn)e，f分別在線段pd，pc上，沿ef折疊后，點(diǎn)p疊在線段ad上的點(diǎn)記為m，并且mfcf. (1)證明：cf平面mdf；,證明,因?yàn)閜d平面abcd，ad平面abcd， 所以pdad. 又因?yàn)閍bcd是矩形，cdad，pd與cd交于點(diǎn)d， 所以ad平面pcd. 又cf平面pcd， 所以adcf，即mdcf. 又mfcf，mdmfm，所以cf平面mdf.,解答,(2)求三棱錐mcde的體積.,幾何畫(huà)板展示,因?yàn)閜ddc，pc2，cd1，pcd60，,如圖，過(guò)點(diǎn)f作fgcd交cd于點(diǎn)g，,題型四立體幾何中的存在性問(wèn)題,例4(2016四川雙流中學(xué)月考)如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，平面b

13、md1n與棱cc1，aa1分別交于點(diǎn)m，n，且m，n均為中點(diǎn). (1)求證：ac平面bmd1n.,證明,連接mn.因?yàn)閙，n分別為cc1，aa1的中點(diǎn)，,又因?yàn)閍a1cc1，且aa1cc1， 所以ancm，且ancm， 所以四邊形acmn為平行四邊形，所以acmn. 因?yàn)閙n平面bmd1n，ac 平面bmd1n， 所以ac平面bmd1n.,(2)若adcd2，dd12 ，o為ac的中點(diǎn).bd1上是否存在動(dòng)點(diǎn)f，使得of平面bmd1n？若存在，求出點(diǎn)f的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,解答,當(dāng)點(diǎn)f滿足d1f3bf時(shí)，of平面bmd1n，證明如下： 連接bd，則bd經(jīng)過(guò)點(diǎn)o，取bd1的中

14、點(diǎn)g， 連接of，dg， 又d1f3bf，所以of為三角形bdg的中位線， 所以ofdg. 因?yàn)閎d2 dd1，且g為bd1的中點(diǎn)， 所以bd1dg，所以bd1of. 因?yàn)榈酌鎍bcd為正方形，所以acbd. 又dd1底面abcd，所以acdd1，,又bddd1d，所以ac平面bdd1， 又of平面bdd1，所以acof. 由(1)知acmn，所以mnof. 又mn，bd1是平面四邊形bmd1n的對(duì)角線，所以它們必相交， 所以of平面bmd1n.,對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出

15、矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).,思維升華,跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，已知dcdd12ad2ab，addc，abdc. (1)求證：d1cac1；,證明,在直四棱柱abcda1b1c1d1中，連接c1d， dcdd1，四邊形dcc1d1是正方形， dc1d1c. 又addc，addd1，dcdd1d， ad平面dcc1d1， 又d1c平面dcc1d1，add1c. ad平面adc1，dc1平面adc1，且addc1d， d1c平面adc1， 又ac1平面adc1，d1cac1.,(2)問(wèn)在棱cd上是否存在點(diǎn)e，使d1e平面a1bd.若存在，確定點(diǎn)e位置；若不存在，說(shuō)明理由.,

16、解答,假設(shè)存在點(diǎn)e，使d1e平面a1bd.連接ad1，ae，d1e， 設(shè)ad1a1dm， bdaen，連接mn， 平面ad1e平面a1bdmn， 要使d1e平面a1bd，可使mnd1e， 又m是ad1的中點(diǎn)，則n是ae的中點(diǎn). 又易知abnedn，abde.即e是dc的中點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)e是dc的中點(diǎn)時(shí)， 可使d1e平面a1bd.,課時(shí)作業(yè),1.(2016北京順義區(qū)一模)如圖所示，已知平面平面l，.a，b是直線l上的兩點(diǎn)，c，d是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且adl，cbl，da4，ab6，cb8.p是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且有apdbpc，則四棱錐pabcd體積的最大值是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,

17、7,8,9,由題意知，pad，pbc是直角三角形， 又apdbpc，所以padpbc. 因?yàn)閐a4，cb8，所以pb2pa. 作pmab于點(diǎn)m，由題意知，pm. 令amt(0t6)，則pa2t24pa2(6t)2， 所以pa2124t.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2.(2016江西贛中南五校第一次聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是 a.若，則 b.若mn，m，n，則 c.若mn，m，n，則 d.若mn，m，則n,答案,解析,對(duì)于a，若，則或相交；對(duì)于b，若mn，m，n，則或相交；對(duì)于d，若mn，m，則n或n.故選c.,1,2,3,4,5,6,7,

18、8,9,3.(2016唐山模擬)如圖，abcda1b1c1d1為正方體，連接bd，ac1，b1d1，cd1，b1c，現(xiàn)有以下幾個(gè)結(jié)論：bd平面cb1d1；ac1平面cb1d1；cb1與bd為異面直線.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi).,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,由題意可知，bdb1d1， 又b1d1平面cb1d1，bd 平面cb1d1， 所以bd平面cb1d1，正確； 易知ac1b1d1，ac1b1c， 又b1d1b1cb1， 所以ac1平面cb1d1，正確； 由異面直線的定義可知正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,4.如圖梯形abcd中，adbc，abc90，adbc

19、ab234，e、f分別是ab、cd的中點(diǎn)，將四邊形adfe沿直線ef進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論： dfbc； bdfc； 平面dbf平面bfc； 平面dcf平面bfc. 在翻折過(guò)程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫(xiě)結(jié)論序號(hào)),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,因?yàn)閎cad，ad與df相交不垂直，所以bc與df不垂直，則錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)d在平面bcf上的投影為點(diǎn)p，當(dāng)bpcf時(shí)就有bdfc，而adbcab234，可使條件滿足，所以正確； 當(dāng)點(diǎn)p落在bf上時(shí)，dp平面bdf，從而平面bdf 平面bcf，所以正確； 因?yàn)辄c(diǎn)d的投影不可能在fc上，所以平面dcf平 面bfc不成立，即錯(cuò)誤.故答案為.,

20、1,2,3,4,5,6,7,8,9,5.如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)e是棱bc的中點(diǎn)，點(diǎn)f是棱cd上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) _時(shí)，d1e平面ab1f.,1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如圖，連接a1b，則a1b是d1e在平面abb1a1內(nèi)的射影. ab1a1b，d1eab1， 又d1e平面ab1f d1eaf. 連接de，則de是d1e在底面abcd內(nèi)的投影， d1eafdeaf. abcd是正方形， e是bc的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,當(dāng)且僅當(dāng)f是cd的中點(diǎn)時(shí)，deaf， 即當(dāng)點(diǎn)f是cd的中點(diǎn)時(shí)，d1e平面ab1f，,1,2,3,4,5,6,7,8,

21、9,6.(2016咸陽(yáng)模擬)如圖，梯形abef中，afbe，abaf，且abbcaddf2ce2，沿dc將梯形cdfe折起，使得平面cdfe平面abcd. (1)證明：ac平面bef；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如圖，取bf的中點(diǎn)m，設(shè)ac與bd交點(diǎn)為o，連接mo，me.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,ce綊mo，故四邊形ocem為平行四邊形， emco，即emac. 又ac 平面bef，em平面bef， ac平面bef.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解答,(2)求三棱錐dbef的體積.,平面cdfe平面abcd，平面cdfe平面abcddc，bcdc， bc平面

22、def.,7.(2016山東牟平一中期末)如圖，在四棱柱abcda1b1c1d1中，acb1d，bb1底面abcd，e，f，h分別為ad，cd，dd1的中點(diǎn)，ef與bd交于點(diǎn)g. (1)證明：平面acd1平面bb1d；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,bb1平面abcd，ac平面abcd， acbb1. 又acb1d，bb1b1db1， ac平面bb1d. ac平面acd1， 平面acd1平面bb1d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(2)證明：gh平面acd1.,證明,設(shè)acbdo，連接od1. e，f分別為ad，cd的中點(diǎn)， efodg， g為od的中點(diǎn). h為dd1的中點(diǎn)，hgod1. gh 平面acd1，od1 平面acd1， gh平面acd1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,8.(2016北京東城區(qū)一模)如圖，在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，點(diǎn)o是對(duì)角線ac與bd的交點(diǎn)，ab2，bad60，m是pd的中點(diǎn). (1)求證：om平面pab；,證明,因?yàn)樵趐bd中，o，m分別是bd，pd的中點(diǎn)， 所以ompb. 又om 平面