1、2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),(1)單調(diào)函數(shù)的定義,1.函數(shù)的單調(diào)性,知識(shí)梳理,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是 或是 ，那么就稱a為單調(diào)區(qū)間.,增加的,減少的,2.函數(shù)的最值,f(x0)m,f(x0)m,f(x)m,f(x)m,函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論,(3)在區(qū)間d上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù). (4)函數(shù)f(g(x)的單調(diào)性與函數(shù)yf(u)和ug(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“

2、”或“”) (1)若定義在r上的函數(shù)f(x)，有f(1)f(3)，則函數(shù)f(x)在r上為增函數(shù).() (2)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，). () (3)函數(shù)y 的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，).() (4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.() (5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù).() (6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到.(),1.下列函數(shù)中，定義域是r且為增函數(shù)的是 a.yex b.yx3 c.yln x d.y|x|,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,由所給選項(xiàng)知只有yx3的定義域是r且為增函數(shù)，故選b.,2.若

3、函數(shù)yax1在1,2上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是 a.2 b.2 c.2或2 d.0,答案,解析,當(dāng)a0時(shí)，由題意得2a1(a1)2，即a2； 當(dāng)a0時(shí)，a1(2a1)2，即a2， 所以a2，故選c.,3.(2016廣州模擬)函數(shù)yx22x3(x0)的單調(diào)增區(qū)間為_.,答案,解析,函數(shù)的對(duì)稱軸為x1， 又x0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，).,(0，),4.(教材改編)已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.,答案,解析,(，1,函數(shù)f(x)x22ax3的圖像開口向上，對(duì)稱軸為直線xa， 畫出草圖如圖所示. 由圖像可知函數(shù)f(x)的單調(diào)

4、遞增區(qū)間是a，)， 由1,2a，)，可得a1.,幾何畫板展示,5.(教材改編)已知函數(shù)f(x) ，x2,6，則f(x)的最大值為_， 最小值為_.,答案,解析,2,題型分類深度剖析,題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間),命題點(diǎn)1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性,答案,解析,例1(1)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 a.(0，) b.(，0) c.(2，) d.(，2),因?yàn)?t0在定義域上是減少的，,所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間， 即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間， 結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2).,(2)yx22|x|3的單調(diào)遞增區(qū)間為_.,答案,解析,由題意知，當(dāng)x0時(shí)，yx22x3(x1)24； 當(dāng)

5、x0時(shí)，yx22x3(x1)24， 二次函數(shù)的圖像如圖. 由圖像可知， 函數(shù)yx22|x|3在(，1，0,1上是增函數(shù).,(，1，0,1,例2已知函數(shù)f(x) (a0)，用定義法判斷函數(shù)f(x)在(1,1)上的單調(diào)性.,命題點(diǎn)2解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,解答,設(shè)1x1x21，,1x1x21，,又a0，f(x1)f(x2)0， 函數(shù)f(x)在(1,1)上是減少的.,幾何畫板展示,引申探究 如何用導(dǎo)數(shù)法求解例2?,解答,a0，f(x)0在(1,1)上恒成立， 故函數(shù)f(x)在(1,1)上是減少的.,思維升華,確定函數(shù)單調(diào)性的方法： (1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法； (2

6、)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”； (3)圖像法，圖像不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“”連接.,跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x) ，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 a.(，1 b.3，) c.(，1 d.1，),答案,解析,設(shè)tx22x3，則t0，即x22x30， 解得x1或x3.所以函數(shù)的定義域?yàn)?，13，). 因?yàn)楹瘮?shù)tx22x3的圖像的對(duì)稱軸為x1， 所以函數(shù)t在(，1上是減少的， 在3，)上是增加的. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3，).,(2)函數(shù)f(x)(3x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 a.(，0) b.(0，) c.(3,1) d.(，3)和(1，),f(x)2xexex(3

7、x2)ex(x22x3)ex(x3)(x1). 當(dāng)30， 所以函數(shù)y(3x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,1)，故選c.,答案,解析,題型二函數(shù)的最值,例3(1)函數(shù)f(x) 的最大值為_.,答案,解析,當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x) 為減函數(shù)，,所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1； 當(dāng)x1時(shí)，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2. 故函數(shù)f(x)的最大值為2.,2,解答,即f(x)在1，)上是增函數(shù)，,幾何畫板展示,若對(duì)任意x1，)，f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解答,()當(dāng)a0時(shí)，f(x)在1，)內(nèi)為增函數(shù). 最小值為f(1)a3. 要使f(x)0在x1，)上

8、恒成立，只需a30， 所以3a0.,因?yàn)閤1，)，所以f(x)0，即f(x)在1，)上為增函數(shù)， 所以f(x)minf(1)a3， 即a30，a3，所以0a1. 綜上所述，f(x)在1，)上恒大于零時(shí)，a的取值范圍是(3,1.,思維升華,求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路 (1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值. (2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值. (3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值. (4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值. (5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可

9、通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.,跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)yx 的最小值為_.,答案,解析,易知函數(shù)yx 在1，)上為增函數(shù)，,x1時(shí)，ymin1.(本題也可用換元法求解),1,(2)函數(shù)f(x) (x1)的最小值為_.,答案,解析,8,令f(x)0，得x4或x2(舍去). 當(dāng)14時(shí)，f(x)0，f(x)在(4，)上是增加的， 所以f(x)在x4處取到極小值也是最小值，即f(x)minf(4)8.,題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,命題點(diǎn)1比較大小,例4已知函數(shù)f(x)的圖像向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2x11時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)ab b.cba c.acb d.ba

10、c,答案,解析,根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱， 且在(1，)上是減函數(shù)，,命題點(diǎn)2解函數(shù)不等式,例5(2016珠海模擬)定義在r上的奇函數(shù)yf(x)在(0，)上是增加 的，且f( )0，則滿足 的x的集合為_.,由 得 或,答案,解析,命題點(diǎn)3求參數(shù)范圍,例6(1)如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是增加的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是,答案,解析,幾何畫板展示,當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x3，在定義域r上是增加的， 故在(，4)上是增加的；,當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x ，,因?yàn)閒(x)在(，4)上是增加的，,答案,解析,由已知條件得f(x)為增函數(shù)，,幾何畫板展示,

11、思維升華,函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決. (2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域. (3)利用單調(diào)性求參數(shù). 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)； 需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的； 分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.,跟蹤訓(xùn)練3(1)(2016太原模擬)已知函數(shù)f(

12、x)x(ex )，若f(x1)f(x2)，則,答案,解析,a.x1x2 b.x1x20 c.x1x2 d.,f(x)x( ex)f(x)，,f(x)在r上為偶函數(shù)，,x0時(shí)，f(x)0，f(x)在0，)上為增函數(shù)， 由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，,(2)(2016西安模擬)要使函數(shù)y 與ylog3(x2)在(3，)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.,答案,解析,(，4),由于ylog3(x2)的定義域?yàn)?2，)，且為增函數(shù)， 故函數(shù)ylog3(x2)在(3，)上是增函數(shù).,因其在(3，)上是增函數(shù)，故4k0，得k4.,典例(12分)函數(shù)f(x

13、)對(duì)任意的m、nr，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0時(shí)，恒有f(x)1. (1)求證：f(x)在r上是增函數(shù)； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,解抽象函數(shù)不等式,答題模板系列1,(1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出f(x2)f(x1)并與0比較大小. (2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點(diǎn).要構(gòu)造出f(m)f(n)的形式.,思維點(diǎn)撥,規(guī)范解答,答題模板,(1)證明設(shè)x1，x2r且x10， 當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，f(x2x1)1.2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分 f(x2)f(x1)

14、f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在r上為增函數(shù).6分 (2)解m，nr，不妨設(shè)mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，,f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分 f(x)在r上為增函數(shù)， a2a513a2，即a(3,2).12分,返回,解函數(shù)不等式問題的一般步驟： 第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性； 第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(m)f(n)的形式； 第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化 成一般的不等式或不等式組； 第四步：(求解)

15、解不等式或不等式組確定解集； 第五步：(反思)反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.,返回,課時(shí)作業(yè),1.(2016北京東城區(qū)模擬)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)的是 a.yx1 b.y c.y(x1)2 d.y31x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a中，函數(shù)在(1，)上是減少的， c中，函數(shù)在(1，)上是減少的， d中，函數(shù)在(1，)上是減少的.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016長(zhǎng)春二模)已知函數(shù)f(x)|xa|在(，1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是 a.(，1 b.(，1 c.1，) d.1，),

16、答案,解析,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(，a)上是單調(diào)函數(shù)， 所以a1，解得a1.故選a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知函數(shù)ylog2(ax1)在(1,2)上是增加的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a.(0,1 b.1,2 c.1，) d.2，),答案,解析,要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增加的， 則a0且a10，即a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知f(x)是r上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a.(1，) b.4,8) c.(4,8) d.(1,8),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,

17、12,13,5.(2016蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上是增加的，則滿足f(2x1)f( )的x的取值范圍是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016江西吉安一中高一期中)用mina，b表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f(x)minx2，x4，則f(x)的最大值為 a.2 b.3 c.4 d.6,答案,解析,所以f(x)maxf(1)3，故選b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.函數(shù)f(x) log2(x2)在區(qū)間1,1上的最大值為_.,答案,解析,3,由于y 在r上是減少的，ylo

18、g2(x2)在1，1上是增加的，,所以f(x)在1,1上是減少的， 故f(x)在1,1上的最大值為f(1)3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.設(shè)函數(shù) g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_.,0,1),答案,解析,函數(shù)的圖像如圖所示，其遞減區(qū)間為0,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016石家莊調(diào)研)已知a0且a1，設(shè)函數(shù)f(x) 的最大值為1，則a的取值范圍為_.,答案,解析,f(x)在(，3上是增函數(shù)，則f(x)max1. f(x)在r上的最大值為1， 0a1，且2loga31，解得 a