1、第八講 空間向量的應(yīng)用一、考情分析在高考的立體幾何試題中，平行或垂直的證明、空間角與空間距的求解是?？疾榈膯栴}，其傳統(tǒng)的“三步曲”解法：“作圖、證明、解三角形”，作輔助線多、技巧性強，是復(fù)習(xí)的難點空間向量的引入有利于解決這些問題，為立體幾何增添了活力，新思想、新方法與時俱進，很多較難的空間的證明或計算問題，就有了解決的通法，減少學(xué)生學(xué)習(xí)度量問題的困難本講主要幫助考生理解并領(lǐng)悟向量工具的威力，運用向量方法簡捷地解決這些問題 二、知識歸納及例析（一）平行的證明（1）兩條直線平行的證明思路：（分別是的方向向量）（2）直線與平面平行的證明思路：法1：（分別是的方向向量、法向量）；法2：（分別是的方向向

2、量，是平面的一個基底）（3）兩個平面平行的證明思路：（分別是平面的法向量）例1：（04年湖南卷）在底面是菱形的四棱錐中，（1）證明：平面（2）在棱上是否存在一點，使平面？解析：（1）底面是菱形，在中，同理，故平面（2）建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點是棱上一點，則：，令，解之得：，當(dāng)點是棱的中點時，共面，又平面，當(dāng)點是棱的中點時，平面（二）垂直的證明（1）兩條直線垂直的證明思路（分別是的方向向量）（2）直線與平面垂直的證明思路法1：（分別是的方向向量、法向量）；法2：（分別是的方向向量，是平面的一個基底）（3）兩個平面垂直的證明思路（分別是平面的法向量）例2：（05年湖北卷）如圖，在四棱錐中，底面為

3、矩形，側(cè)棱底面是的中點 （）求直線與所成角的余弦值；（）在側(cè)面內(nèi)找一點，使平面，并求出點到和的距離解析：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的夾角為，則：，故AC與PB所成角的余弦值為（）由于點在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)，則：，平面，即；從而點到和的距離分別為例3：（05年浙江卷）如圖，在三棱錐中，點分別是的中點，底面 （1）當(dāng)時，求直線與平面所成角的大??； （2）當(dāng)取何值時，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心？解析：，；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則：，設(shè)，則：；（1）當(dāng)時，可求得平面PBC的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則：故直線與平面所成角為（2）的重心，又，此時，即；反之，當(dāng)時，三棱錐為正三棱錐，

4、在平面內(nèi)的射影恰好為的重心（三）求空間距離問題構(gòu)成空間的點、線、面之間有六種距離，這里著重研究點面之距的求法，異面直線間的距離、線面距離；面面距離都可化為點面距離來求（1）求點面距離設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點， 則到的距離為（2）求異面直線的距離在上取一點, 在上取一點, 設(shè)分別為異面直線的方向向量，設(shè)異面直線的公共的垂直向量為，則異面直線的距離為：（此方法移植于點面距離的求法）例4：正方體的棱長為，求異面直線的距離解析：建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)異面直線的公共的垂直向量為，則：，在上的投影長為：異面直線的距離為（四）求空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角 （

5、）求異面直線所成的角設(shè)分別為異面直線的方向向量，異面直線成角的范圍是，而向量的夾角的范圍是，則：例5：三棱柱中，平面平面，求異面直線所成的角解析：本題宜于運用向量法解決法1：設(shè)，則：，故異面直線所成的角法2：建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則：，故異面直線所成的角（2）求線面角問題設(shè)是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角例6：如圖，正三棱柱中，求直線與平面所成的角解析：本題運用向量法有以下兩種解法：法1：建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則即為所求； ，故直線與平面所成的角法2：顯然平面的法向量為，則：故直線與平面所成的角（3）求二面角問題法一：設(shè)，在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如圖，則二面角的平面角法二：設(shè)是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角的平面角例7：（05年江西卷）如圖，在長方體中，點在棱上移動 （1）證明：； （2）等于何值時，二面角的大小為解析：建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，（1），（2）設(shè)平面的法向量，則：，（不合，舍去），故當(dāng)時，二面角的大小為例8：（05年北京卷）如圖，在直四棱柱中，垂足為. （）求證：； （）求二面角的大?。唬ǎ┣螽惷嬷本€與所成角的大小解析：（I）在直四棱柱中，底面，是在平