1、專題四數(shù)列的綜合應(yīng)用1等比數(shù)列與等差數(shù)列比較表不同點(diǎn)相同點(diǎn)等差數(shù)列(1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項(xiàng)唯一(1)都強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系；等比數(shù)列(1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項(xiàng)有兩個(gè)值(2)結(jié)果都必須是同一個(gè)常數(shù)；(3)數(shù)列都可由a1，d或a1，q確定2. 數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等，需熟練應(yīng)用不等式知識(shí)解決數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率、銀行信貸、分期付款、合理定價(jià)等3 解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，

2、認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征(3)求解求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問(wèn)題中4 數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系1 在等比數(shù)列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，則a3

3、a5的值為_(kāi)答案5解析設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，則a10，q0，a2a42a3a5a4a6aq42aq6aq8aq4(1q2)225.a1q2(1q2)5，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)5.2 已知等差數(shù)列的公差d0，S210，S2121a110，a115)是公比為q (q0)的等比數(shù)列，則m的值為_(kāi)答案11解析由題意，得a362d，因?yàn)閝，所以3d；因?yàn)閝大于零，所以3d是大于零的整數(shù)，q.由題意知，數(shù)列an各項(xiàng)均為整數(shù)，故d，q均應(yīng)為整數(shù)當(dāng)3d3,3dZ時(shí)，q不為整數(shù)，故3d只能取1,3.當(dāng)3d3時(shí)，d0，不滿足條件；故3d1，此時(shí)d2，q3，滿足條件所以q3，d2，因此63am

4、6(m5)2，所以m11.4 設(shè)數(shù)列an是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x214x450的兩個(gè)實(shí)根則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an_；若bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn_.答案2n12解析因?yàn)榉匠蘹214x450的兩個(gè)根分別為5、9，所以由題意可知a35，a59，所以d2，所以ana3(n3)d2n1.bnn，Tn123(n1)nTn12(n1)n得，Tnn1，所以Tn2.5 等比數(shù)列an中，a12，a84，函數(shù)f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，則f(0)等于()A26 B29 C212 D215答案C解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(x

5、a1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例1在等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)令bn2an10，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列審題視角第(1)問(wèn)列首項(xiàng)a1與公差d的方程組求an；第(2)問(wèn)利用定義證明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得an12(n1)22n10.(2)證明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4，bn

6、是首項(xiàng)是4，公比q4的等比數(shù)列探究提高對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a11，an12Sn1 (n1)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11 (n2)，兩式相減得an1an2an，則an13an (n2)又a22S113，a23a1.故an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，an3n1.(2)設(shè)bn的公差為d，由T315，b1b2

7、b315，可得b25，故可設(shè)b15d，b35d，又a11，a23，a39，由題意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，d0，d2，b13，Tn3n2n22n.題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)log2xlogx2(0x1)，數(shù)列an滿足f(2an)2n (nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性思維啟迪：(1)將an看成一個(gè)未知數(shù)，解方程即可求出an；(2)通過(guò)比較an和an1的大小來(lái)判斷數(shù)列an的單調(diào)性解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann.0x1，02an1，an10，an1an，

8、an是遞增數(shù)列方法二1，又anan，an是遞增數(shù)列探究提高本題融數(shù)列、方程、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)為一體，結(jié)構(gòu)巧妙、形式新穎，著重考查邏輯分析能力 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，兩

9、式相減得Tn，故Tn，nN*.題型三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用例3(2012廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有12n2(n2n)12n22n22n(n1)，111，即. 已知數(shù)列an滿足a1，an1an2an1an，Sn表示數(shù)列an前n項(xiàng)和求證：Sn1.證明由a10易知，對(duì)于任意的n，an0，原式化為1，12.令bn1，b12，bn12bn，數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即bn12n，所以an，故Sna1a2an10.85bn，有250(n1)504

10、00(1.08)n10.85.當(dāng)n5時(shí)，a50.85b6，滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.到2013年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.探究提高解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，這恰好是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn) 今年“十一”期間，北京十家重點(diǎn)公園將舉行免費(fèi)游園活動(dòng)，北海公園免費(fèi)開(kāi)放一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園，接下來(lái)的第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來(lái)，第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來(lái)，第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來(lái)，第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來(lái)按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午

11、11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是 ()A21147 B21257C21368 D21480答案B解析由題意，可知從早晨6時(shí)30分開(kāi)始，接下來(lái)的每個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，出來(lái)的人數(shù)構(gòu)造以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，記第n個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入公園的人數(shù)為an，第n個(gè)30分鐘內(nèi)出來(lái)的人數(shù)為bn，則an42n1，bnn，則上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)為S221257.用構(gòu)造數(shù)列的思想解題典例：(12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1，an2SnSn1 (n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)求證：SSS.審題視角(1)從求證內(nèi)容來(lái)看，首先要求出Sn.(2)從S

12、n與Sn1的遞推關(guān)系來(lái)看，可考慮構(gòu)造新數(shù)列.(3)可考慮用放縮法證明規(guī)范解答(1)解an2SnSn1 (n2)，SnSn12SnSn1.兩邊同除以SnSn1，得2 (n2)，2分?jǐn)?shù)列是以2為首項(xiàng)，以d2為公差的等差數(shù)列，3分(n1)d22(n1)2n，Sn.5分將Sn代入an2SnSn1，得an6分(2)證明S (n2)，S，當(dāng)n2時(shí)，SSS；10分當(dāng)n1時(shí)，S.綜上，SSS.12分溫馨提醒(1)在數(shù)列的解題過(guò)程中，常常要構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列可以使題目變得簡(jiǎn)單，而構(gòu)造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形(2)本題首先要構(gòu)造新數(shù)列，其次應(yīng)用放縮法，并且發(fā)現(xiàn)只有應(yīng)用放縮法才

13、能用裂項(xiàng)相消法求和，從而把問(wèn)題解決事實(shí)上：(3a)73.所以解得2a3.4 (2012湖北)定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()A B C D答案C解析利用特殊化思想，選an2n判定不妨令an2n.因?yàn)閒(x)x2，所以f(an)4n.顯然f(2n)是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)

14、f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比數(shù)列因?yàn)閒(x)，所以f(an)()n.顯然f(an)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)ln |x|，所以f(an)ln 2nnln 2.顯然f(an)是首項(xiàng)為ln 2，公差為ln 2的等差數(shù)列故應(yīng)選C.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (2011江蘇)設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_答案解析由題意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值為.6 已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，

15、則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為_(kāi)答案10解析由于a11，a22，an2，所以a31，a4，a51，a62，所以an是周期為4的數(shù)列，故S2661210.7對(duì)正整數(shù)n，若曲線yxn (1x)在x2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)答案2n12解析yxn(1x)xnxn1，ynxn1(n1)xn，當(dāng)x2時(shí)，切線的斜率k(n2)2n1，在x2處的切線方程為y2n(n2)2n1(x2)，令x0可得y(n1)2n，即an(n1)2n，2n，即數(shù)列為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn2n12.三、解答題(共22分)8 (10分)(2011大綱全國(guó))設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)

16、設(shè)bn，記Snk，證明：Sn1.(1)解由題設(shè)1，即是公差為1的等差數(shù)列，又1，故n.所以an1.(2)證明由(1)得bn，Snk150成立的最小正整數(shù)n的值解(1)設(shè)此等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由題意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比數(shù)列an單調(diào)遞增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得bnn2n，Snb1b2bn(12222n2n)設(shè)Tn12222n2n，則2Tn122223n2n1.由，得Tn1212212nn2n12n12n2n1(1n)2n12

17、，Tn(n1)2n12.Sn(n1)2n12.要使Snn2n150成立，即(n1)2n12n2n150，即2n26.241626，且y2x是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件的n的最小值為5.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anlog2 (nN*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn5成立的自然數(shù)n ()A有最小值63 B有最大值63C有最小值31 D有最大值31答案A解析anlog2log2(n1)log2(n2)，Sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由Sn6，

18、即n264，n62，n有最小值63.2 已知數(shù)列an滿足3an1an4 (nN*)且a19，其前n項(xiàng)和為Sn，則滿足不等式|Snn6|的最小正整數(shù)n是 ()A5 B6 C7 D8答案C解析由3an1an4得，an11(an1) (運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列法)，an1是以a118為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，an18n1，an8n11.Sn8n8n6n6n，|Snn6|n6750.將n5,6,7分別代入驗(yàn)證符合題意的最小正整數(shù)n7.3 設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列 (nN*)的前n項(xiàng)和是()A. B. C. D.答案A解析由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.f(x)x2x，則.Sn1

19、1.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_(kāi)答案解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)(n2)13333n2n，所以n1.設(shè)f(x)x1，則f(x)1.令f(x)0，得x或x，所以的最小值為.5 在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a52S43，a62S53，則此數(shù)列的公比q_.答案3解析因?yàn)閍6a52(S5S4)，所以a63a5，所以q3.6 (2011陜西)植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為_(kāi)米答案2 000解析假設(shè)20位同學(xué)是1號(hào)到20號(hào)依次排列的，使每位同學(xué)的往返所走的路程和最小，則樹(shù)苗需放在第10