1、湖南師范大學附屬中學高三數(shù)學總復習教案：斜線在平面上的射影 直線和平面所成的角一、素質教育目標（一）知識教學點1點在平面上的射影，點到平面的垂線段2有關平面的斜線的幾個概念3有關射影的幾個概念4射影定理5有關直線和平面成角的幾個概念（二）能力訓練點1加深對數(shù)學概念的理解掌握2初步學會依據(jù)直線與平面成角的定義用于解決成角問題的一般方法二、教學重點、難點、疑點及解決方法1教學重點：射影定理的敘述和記憶及直線與平面成角的概念2教學難點：定理的理解及有關直線與平面成角的練習3教學疑點及解決方法：（1）“ 斜線在平面上的射影”是“直線和平面所成的角”的基礎；“斜線在平面上的射影”這一小節(jié)出現(xiàn)概念較多，為

2、了便于學生理解和記憶，可以邊畫出課本的圖形1-30邊講解，結合圖形記憶，快而且準教學中，一般先畫出斜線AC與平面斜交于C，再過AC上一點A引AB，垂足為點B，連結BC，然后指出AC是平面上的斜線；線段AC是點A到平面的斜線段，線段AB是點A到平面的垂線段，點B是點A到平面的垂線的垂足，直線BC是線段AC在平面上的射影（2）斜線段在平面上的射影是一條線段，斜線在平面上的射影是直線，垂線和垂線段在平面上的射影退化成一個點（3）為照顧一般習慣說法，課本中定義射影是用“在平面上”，而說點、直線“在平面內”，并非不同（4）射影定理中三個結論成立的前提是這些斜線段及垂線段必須是從平面外同一點向平面所引而得

3、到的，否則，結論不成立（5）直線和平面相交，它們的相互位置與兩條相交直線一樣，仍需用角來表示，但過交點在平面內可以作許多條直線，與平面相交的直線同平面內每一條直線所成的角是不相等的，為了定義的準確性，所以取這些角中有確定值的最小角，也就是取該斜線與其在平面上射影所成的銳角作為直線和平面所成的角；（6）直線和平面的位置關系可以用直線和平面成角范圍來刻劃；反之，由直線和平面所成角的大小也可以確定直線和平面的相互位置：直線和平面平行或直線在平面內，0直線和平面成角的范圍是090三、課時安排1課時四、學生活動設計常規(guī)活動（略）五、教學步驟（一）新課概念教學1點在平面上的射影，點到平面的垂線段自一點向平

4、面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影這點與垂足間的線段叫這點到這個平面的垂線段2平面的斜線的有關概念一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫斜足，斜線上一點和斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段3射影的有關概念過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在這個平面上的射影垂足和斜足間的線段叫這點到平面的斜線段在這個平面上的射影說明：教師邊畫出課本圖形1-30，邊講解點B點A在平面上的射影AB點A到平面的垂線段AC平面的一條斜線C斜足線段AC斜線段直線BC斜線AC在平面上的射影線段BC斜線段AC在平面上的射影（板書）（1）點在平

5、面上的射影（2）點到平面的垂線段（3）斜線、斜足、斜線段（4）斜線在平面上的射影（5）線段在平面上的射影（二）射影定理從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短關于射影定理說明如下：設A為平面外一點，AO，AB、AC為任意兩條斜線，O為垂足，則OB和OC分別是AB和AC的射影則AB和AC分別為RtABO和RtACO的斜邊；由勾股定理可知AB2AO2+OB2；AC2AO2+OC2；比較上面兩個等式，得還可以得到ABAO，ACAO所以，AO過點A向平面

6、所引線段中最短的一條（三）直線與平面成角1定義：（1）平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和平面所成的角（2）直線和平面垂直直線與平面所成的角是直角（3）直線和平面平行或直線在平面內直線與平面所成的角是0度的角2按照定義，在求直線和平面所成的角時，應按下述三種情況依次進行考慮：（1） 直線和平面平行或直線在平面內時，直線和平面所成的角是0角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角是直角；（3）直線和平面斜交時，直線和平面所在的角是指直線和它在平面內的射影所成的銳角3斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角（讓學生看書3分鐘，加以理解）（

7、四）例題分析1如圖1-82，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、A1D1的中點，求：（1）D1B1與面AC所成角的余弦值；（2）EF與面A1C1所成的角；（3）EF與面AC所成的角解：（2）45（3）452如圖1-83，RtABC的斜邊AB在平面M內，AC和BC與M所成的角分別是30、45，CD是斜邊AB上的高，求CD與M所成的角分析：作出CD與平面M所成的角，然后去解含這個角的三角形解：作CC1平面M，連結AC1、BC1、DC1，依題意CAC130，CBC145，設CC1a，則AC2a，CDC1603可讓學生完成課后練習1、2（五）歸納小結這節(jié)課，我們學習了有關平面的斜線、射影和直線與平面成角的幾個概念，射影定理中的三個結論成立的前提是這些斜線段及垂線段必須是從平面外同一點向平面所引而得到的否則，結論不成立六、布置作業(yè)作為一般要求，完成習題四9、10補充：1AB是直角三角形ABC的斜邊，三個頂點在平面M的同側，它們在M內的射影分別是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA13cm，BB15cm，CC14cm求三角形A1B1C1的面積解：設正三角形A1