1、.湖南師大附中高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設(shè)集合，若，則與的關(guān)系是（ ）A B C D【答案】B【解析】設(shè)，則，故2設(shè)p：，q:，若q是p的必要而不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B C. D【答案】A【解析】解不等式得：，故滿足命題p的集合P=（，1），解不等式得：，故滿足命題q的集合Q=，若q是p的必要而不充分條件，則P是Q的真子集，即且解得，故選A .3函數(shù)的圖象大致是（ ）OyxOyxOyxOyxABCD【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可以看出，函數(shù)的零點呈周期性出現(xiàn)，且自變

2、量趨向于正無窮大時，函數(shù)值在軸上下震蕩，幅度越來越小，而當(dāng)自變量趨向于負無窮大時，函數(shù)值在軸上下震蕩，幅度越來越大只有選項符合題意.4有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD2，DCBC，則這塊菜地的面積為（ ）A B C D【答案】C5用秦九韶算法計算多項式在時的值時,的值為（ ）A-5 B2 C-7 D3【答案】C【解析】由秦九韶算法，從而，故選C.6若隨機變量X，則E(2X1)與D(2X1)的值分別是 ( )A5,8 B7,8 C5,16 D7，16【答案】D【解析】2，3，E(2X1)2E(X)12(3)17； D(2X1)=

3、4 D(X)=16.故選D.7已知雙曲線，過其右焦點作圓的兩條切線，切點記作，,雙曲線的右頂點為,，其雙曲線的離心率為（ ）A B C D 【答案】D【解析】由CED=150，CEO=75，OC=OE，OCE=75，ECF=15，ECF+CFE=CEO=75，CFE=60，在RtCOF中，OC=a，OF=c ，離心率 ，故選D8將三顆骰子各擲一次，記事件A“三個點數(shù)互不相同”，B“至少出現(xiàn)一個點”，則條件概率是（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】由題意得事件的個數(shù)為，在發(fā)生的條件下發(fā)生的個數(shù)為，所以，故正確答案為A.9定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是成立，則 ( )A BC D【答案】D【解析

4、】在時，由，得，構(gòu)造函數(shù)，則，函數(shù)為增函數(shù)，由，則，可得10已知函數(shù)，若存在實數(shù)、，滿足 ，其中，則的取值范圍是( )A B C D【答案】B【解析】如圖所示，由圖形易知，則，令，即，解得或，而二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，由圖象知，點和點均在二次函數(shù)的圖象上，故有， ，即.二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分(一)選做題(請考生在第11，12，13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）11（極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中, 以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是 【答案】12.（幾何證明選講選做題）如圖，是的

5、直徑，是延長線上的一點，過作的切線，切點為，若，則線段的長是 CAOBP【答案】2.13（不等式選講選做題）若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】(二)必做題(14-16題)14【答案】15若點 是不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個動點，點是直線上的任意一點，為坐標(biāo)原點，若取得最大值時的最優(yōu)解不唯一，則點的橫坐標(biāo)是 【答案】-2或116若存在正整數(shù)使得關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，則正整數(shù)的最小值為 .答案：4【解析】由已知得，而表示上半個單位圓（不包括端點）上的動點與定點連線的斜率要滿足題意就要直線與上半個單位圓（不包括端點）有兩個不同的交點，此時，若，則，故不存在這樣的正整數(shù)滿足題設(shè)

6、要求；若，則存在，使得。從而，故三、解答題：本大題共6個小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若是第一象限角，求的值.解：（1）由所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）. 4分 （2）由，因為所以所以或， 8分 由（），又是第一象限角，所以，所以 10分由，且是第一象限角所以綜上，或12分 18（本小題滿分12分）長沙市教科所為了解今年全市高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本情況，從長沙市各學(xué)校隨機抽取了一個學(xué)校的名學(xué)生，將他們在某次全市統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)卷得分?jǐn)?shù)據(jù)整理后，分成區(qū)間，并畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻

7、率之比為，其中第2小組的頻數(shù)為12.（1）求該學(xué)校抽取的人數(shù)的大?。唬?）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全市的總體數(shù)據(jù)，若從全市所有高三學(xué)生（人數(shù)很多）中任選三人，設(shè)表示分?jǐn)?shù)超過90分的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.分?jǐn)?shù)解：（1）因為前三小組的頻率分別為，由條件可得: 解得 再由，解得 6分（2）由（1）可得：一個高三學(xué)生分?jǐn)?shù)超過90分的概率為，所以服從二項分布且的取值為0，1，2，3.即隨機變量的分布列為：0123 則（也可利用公式） 12分19（本小題滿分12分）如圖,已知四邊形和都是菱形,平面和平面互相垂直,且(1)求證:Fxyz(2)若是線段上的一個動點，且，二面角的余弦值為，求的值.（

8、1）證明：取的中點F,連接BF,C1F為正三角形，同理，故面 5分（2）建系如圖，則，,設(shè)面的法向量為則，得，得 8分易知面的法向量可為，二面角的平面角為銳角，設(shè)為，則 ，. 12分20（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，點在函數(shù)的圖象上（），且，函數(shù)的圖象在點處的切線的橫截距為.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項的和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上，所以，由函數(shù)的圖象在點處的切線方程為所以切線的橫截距為，從而，故從而，. 5分（2）由（1）知，所以，因為，所以，有所以，又 ，所以故數(shù)列的前項的和為.13分xyAOBCDMN(第21題圖)21.（本小

9、題滿分13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(ab0) 的離心率為，直線l：yx與橢圓E相交于A，B兩點，AB2 （1）求橢圓E的方程；（2）C是橢圓E上異于A，B的任意一點. (i)當(dāng)CA、CB斜率都存在時，求證：直線AC，BC 的斜率之積為常數(shù)；(ii)D是橢圓E上異于A，B，C的另外一點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N，求直線MN的傾斜角的度數(shù)解：（1）因為e，所以a22b2 1分由題意，不妨設(shè)點A在第一象限，點B在第三象限由AB2，所以O(shè)A，而點A、B在直線l：yx上，故A(2，1)，B(2，1)又點A在橢圓：1上，得b23從而 a，b故橢圓E的方程為

10、 1 4分（2）(i).當(dāng)CA、CB斜率都存在時，設(shè)C(x0，y0)則kCA kCB又因為，所以，所以故kCA kCB 7分（ii）方法一：當(dāng)CA、CB、DA、DB斜率都存在時，由（i）kCA kCB同理kDA kDB 因為kCA =kMA，kCB=kNB，kDA= kNA，kDB= kMB于是, 即兩式相減得：所以kMN1即直線MN的傾斜角的度數(shù)為 11分當(dāng)CA、CB、DA、DB中有直線的斜率不存在時，由題意，至多有一條直線斜率不存在，不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C(2，1)設(shè)DA的斜率為k2，由知kDB此時CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(

11、x2)，它們交點N(2，1)，從而kMN1, MN的傾斜角為也成立由可知，直線MN的傾斜角的度數(shù)為 13分（ii）方法二：當(dāng)CA,CB,DA,DB斜率都存在時,設(shè)直線CA,DA的斜率分別為k1、k2，設(shè)C(x0，y0)則kCB 同理kDB 于是直線AD的方程為y1k2(x2)，直線BC的方程為y1(x2)由解得 從而點N的坐標(biāo)為(，) 用k2代k1，k1代k2得點M的坐標(biāo)為(，)所以kMN 1即直線MN的傾斜角的度數(shù)為 11分當(dāng)CA,CB,DA,DB中有直線斜率不存在時,同方法一 13分（ii）方法三：當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2顯然k1k2直線

12、AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0設(shè)點C的坐標(biāo)為(x1，y1)，則2x1，從而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC所以直線BC的方程為y1(x2)又直線AD的方程為y1k2(x2)由解得 從而點N的坐標(biāo)為(，) 用k2代k1，k1代k2得點M的坐標(biāo)為(，)所以kMN 1即直線MN的傾斜角的度數(shù)為 11分當(dāng)CA,CB,DA,DB中有直線斜率不存在時,同方法一 13分22（本小題滿分13分）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)有三個不同的極值點，求的取值范圍； （3）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值.解：（1）由于，則，解得；3分（2）令，則方程有三個不同的根，又，知在，上