1、1.3.2 “楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解楊輝三角各行數(shù)字的特點(diǎn)及其與組合數(shù)性質(zhì)、二項(xiàng)展開式系數(shù)性質(zhì)間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和歸納推理能力；2理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用；3理解和初步掌握賦值法.【能力目標(biāo)】能識別和計算兩個系數(shù),并會利用不等式求最大值.【重點(diǎn)難點(diǎn)】體會用函數(shù)知識研究問題的方法，理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點(diǎn)；利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【學(xué)法指導(dǎo)】二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有

2、二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題的重要手段.【學(xué)習(xí)過程】一.【課前預(yù)習(xí)】閱讀教材P32-P35,二【課堂學(xué)習(xí)與研討】二項(xiàng)定理:一般地,對于有二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個?下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)?楊輝三角1“楊輝三角”的來歷及規(guī)律 展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次

3、是從函數(shù)角度看，可看成是以為自變量的函數(shù) ,其定義域是：當(dāng)時，其圖象是右圖中的7個孤立點(diǎn)（1）對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等；這一性質(zhì)可直接由公式得到，圖象的對稱軸（2）增減性與最大值 由于：，所以相對于的增減情況由決定。由知，當(dāng)時，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。因此，當(dāng)為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且同時取得最大值；(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和在二項(xiàng)式定理中，令，則：，這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于。同時由于，上式還可以寫成：，這是組合總數(shù)公式。一般地，展開式的二項(xiàng)式

4、系數(shù)有如下性質(zhì)：，當(dāng)時，當(dāng)時，。例.在中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；解: （1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，為（2）設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，又，依題意得于是化簡得，解得.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即是系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)三【課堂檢測】1.已知，那么 。(用,表示)解: 2.的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是 。解:當(dāng)為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且同時取得最大值,所以相等且最大,是126.3.若得展開式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 。解:即相等且最大,則.4.的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是（D）A第4項(xiàng)B第4、5項(xiàng)C第5項(xiàng)D第3、4項(xiàng)5.若展開式中第6

5、項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含的項(xiàng)等于（A）A210B120C461D416四【課堂小結(jié)】二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題的重要手段.【課外作業(yè)】1思考判斷（正確的打“”，錯誤的打“”） （1）楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列. （ ）（2）二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的. （ ）（3）二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為. （ ）解: （1）對，由楊輝三角觀察可知結(jié)論正

6、確.（2）錯，二項(xiàng)式展開式中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個概念，所以最大項(xiàng)也不相同.（3）錯，二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為. （1）（2）（3）2關(guān)于的說法，錯誤的是 ()A展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1 024B展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C展開式中第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小解:根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，故A正確；當(dāng)n為偶數(shù)時，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間一項(xiàng)，故B正確，C錯誤；D也是正確的，因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以是系數(shù)中最小的C3的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)為 ()A第九項(xiàng) B第八項(xiàng) C第七項(xiàng) D第六項(xiàng)解:展開式中共有14項(xiàng)，中間兩項(xiàng)（第七、八項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大由于二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)滿足：奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)故系數(shù)最小的項(xiàng)為第八項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為第七項(xiàng)B4在的二項(xiàng)展開式中，若只有的系數(shù)最大，則 （ ）A8 B9 C10 D11解:由題意展開式中， 的系數(shù)就是第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)橹挥兴嵌?xiàng)式系數(shù)中最大的，所以.5展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為_ 解:令展開式左、右兩邊，得各項(xiàng)系數(shù)和為；各二項(xiàng)式系數(shù)之和為：. 6. P37頁