1、7完全平方公式,一、完全平方公式的推導(dǎo) 1.兩數(shù)和的平方. (a+b)2=(a+b)(a+b)=_=_. 2.兩數(shù)差的平方. (a-b)2=(a-b)(a-b)=_=_.,a2+ab+ab+b2,a2-ab-ab+b2,a2-2ab+b2,a2+2ab+b2,【歸納】(1)(a+b)2=_,(a-b)2=_. (2)公式特征:左邊:二項(xiàng)式的_;右邊是_項(xiàng),且有_ 個(gè)平方項(xiàng),中間項(xiàng)為首尾兩項(xiàng)底數(shù)積的2倍. (3)語言敘述:兩數(shù)和(或差)的平方,等于這兩個(gè)數(shù)的_,加 上(或減去)這兩數(shù)的_的2倍.,a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,平方,三,兩,平方和,積,二、幾何解釋 如圖,最大正方形的面

2、積可用兩種形式表示: _,_, 由于這兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊面積,所以應(yīng) 相等,即_=_. 【點(diǎn)撥】公式中的a和b可代表一個(gè)字母、一個(gè)數(shù)字、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.,(a+b)2,a2+2ab+b2,(a+b)2,a2+2ab+b2,【預(yù)習(xí)思考】 (a-b)2與(-a+b)2相等嗎? 提示:相等.,完全平方公式 【例1】計(jì)算:(1)(-2x+ )2.(2)(-3m-2n)2.,【解題探究】(1)方法一:括號(hào)內(nèi)可以看成是-2x與 的和. 運(yùn)用公式計(jì)算:原式=(-2x)2+2(-2x) + = 方法二:括號(hào)內(nèi)可以看成是 與2x的差. 運(yùn)用公式計(jì)算:原式= (2)利用互為相反數(shù)的平方相等化去括號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)為:

3、(-3m-2n)2=(3m+2n)2. 運(yùn)用公式計(jì)算:原式=(3m)2+2(3m)2n+(2n)2=9m2+12mn+4n2.,【規(guī)律總結(jié)】 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算的“技巧” 口訣:“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘積的2倍在中央”; 變形:(-a+b)2,(-a-b)2在計(jì)算中易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤,可作如下變形: (-a+b)2=(b-a)2,(-a-b)2=(a+b)2.,【跟蹤訓(xùn)練】 1.下列計(jì)算正確的是() (A)(x+y)2=x2+y2 (B)(x-y)2=x2-2xy-y2 (C)(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 (D)(-x+y)2=x2-2xy+y2 【解析】選D.

4、選項(xiàng)A:(x+y)2=x2+2xy+y2, 選項(xiàng)B:(x-y)2=x2-2xy+y2, 選項(xiàng)C:(x+2y)(x-2y)=x2-4y2,故A,B,C錯(cuò)誤.,2.(2012涼山州中考)整式A與m2-2mn+n2的和是 (m+n)2,則A=. 【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=4mn. 答案:4mn 3.計(jì)算:(1)(-m-n)2.(2)(-5a-2)(5a+2). 【解析】(1)(-m-n)2=(-m)2+2(-m)(-n)+(-n)2=m2+2mn+n2. (2)(-5a-2)(5a+2)=-(5a+2)(5a+2) =-(5a+2)2=-(25a2+20a+4)=-25a2-

5、20a-4.,完全平方公式的應(yīng)用 【例2】已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值. 【解題探究】(1)因?yàn)閤+y=8,所以(x+y)2的值是64. (2)由完全平方公式可知(x+y)2=x2+2xy+y2,由上述探究可得x2+2xy+y2=64,即x2+y2=64-2xy. (3)由已知xy=12可得x2+y2=64-212=40.,【規(guī)律總結(jié)】 完全平方公式的“四種恒等變形” 1.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. 2.(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2; (a+b)2-(a-b)2=4ab. 3.ab= (a+b)2-(a2+b2)= (a+b)2-(a

6、-b)2=( )2-( )2. 4.x2+ =(x+ )2-2.,【跟蹤訓(xùn)練】 4.計(jì)算:2 0122=. 【解析】2 0122=(2 000+12)2=2 0002+22 00012+122= 4 048 144. 答案:4 048 144,5.已知(a-b)2=4,ab= ,則(a+b)2=. 【解析】因?yàn)?a-b)2=4,所以a2-2ab+b2=4, 又因?yàn)閍b= ,所以a2+b2=5, 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=5+2 =6. 答案:6,6.(2012株洲中考)先化簡(jiǎn),再求值:(2a-b)2-b2,其中a=-2,b=3. 【解析】原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4

7、ab. 當(dāng)a=-2,b=3時(shí),原式=4(-2)2-4(-2)3 =16+24=40.,1.(2012遵義中考)如圖,從邊長為(a+1) cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為(a-1) cm的正方形(a1),剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無縫隙),則該矩形的面積是() (A)2 cm2(B)2a cm2 (C)4a cm2(D)(a2-1) cm2,【解析】選C.矩形的面積是(a+1)2-(a-1)2 =a2+2a+1-(a2-2a+1)=4a(cm2).,2.已知a+b=5,ab=6,則(a-b)2的值為() (A)1(B)4(C)9(D)16 【解析】選A.(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-46=1. 3.(2012南安中考)已知a+b=3,ab=1,則a2+b2的值為. 【解析】因?yàn)?a+b)2=a2+b2+2ab,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2=7. 答案:7,4.(2012常州中考)已知x=y+4,則代數(shù)式x2-2xy+y2-25的值為. 【解析】因?yàn)閤=y+4,所以x-y=4, (x-y)2=16,即x2-2xy+y2=16, 所以x2-2