1、2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,1,第3章 一元函數(shù)積分學及其應(yīng)用,第1節(jié) 定積分的概念，存在條件與性質(zhì) 第2節(jié) 微積分基本公式與基本定理 第3節(jié) 兩種基本積分法 第4節(jié) 定積分的應(yīng)用 第5節(jié) 反常積分 第6節(jié) 幾類簡單的微分方程,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,2, 積分問題, 微分方程問題,推廣,第6節(jié) 幾類簡單的微分方程,本節(jié)僅討論幾類能直接利用積分方法求解的簡單微分 方程及其應(yīng)用.ch7章對微分方程的理論及其求解將進 行較為系統(tǒng)的介紹,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,3,第6節(jié) 幾類簡單的微分方程,6.1 幾

2、個基本概念 6.2 可分離變量的微分方程 6.3 一階線性微分方程 6.4 變量代換法 6.5 可降階的高階方程 6.6 應(yīng)用舉例,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,4,解,6.1、幾個基本概念,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,5,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,6,代入條件后知,故,開始制動到列車完全停住共需,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,7,微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,分類1

3、: 常微分方程, 偏微分方程.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,8,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類2:,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,9,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個微分方程與微分方程組.,如果一個微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導數(shù)作為 整體的一次冪,則稱它為線性微分方程.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,10,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).,微分方程的解的分類：,(1)通解: 微分

4、方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,11,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,通解的圖象: 積分曲線族.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,12,過定點的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,13,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,14,所求特解為,補充:,微分方程的初等

5、解法: 初等積分法.,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,15,6.2 可分離變量的微分方程,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,16,定義,分離變量法步驟:,1.分離變量;,2.兩端積分-隱式通解.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,17,可分離變量的微分方程.,解法,為微分方程的解.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,18,例4 求解微分方程,解,分離變量,兩端積分,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,19,例5,解,2

6、008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,20,一階線性微分方程的標準形式:,上方程稱為齊次的.,上方程稱為非齊次的.,例如,線性的;,6.3 一階線形微分方程,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,21,齊次方程的通解為,1. 線性齊次方程,一階線性微分方程的解法,(使用分離變量法),2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,22,2. 線性非齊次方程,討論,兩邊積分,非齊方程通解形式,與齊方程通解相比:,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,23,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實質(zhì): 未知函數(shù)

7、的變量代換.,作變換,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,24,對應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,25,解,例1,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,26,求一連續(xù)可導函數(shù),使其滿足下列方程:,提示:,令,則有,利用公式可求出,例2,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,27,6.4 變量代換法,2 伯努利方程,1 齊次方程,3 其他的變量替換法舉例,2008年12月17日,南京航空

8、航天大學 理學院 數(shù)學系,28,6.4 變量代換法,的微分方程稱為齊次方程.,(2) 解法,作變量代換,代入原式,可分離變量的方程,(1) 定義,1 齊次方程,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,29,例 1 求解微分方程,微分方程的解為,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,30,伯努利(Bernoulli)方程的標準形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,2 伯努利方程,解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,31,求出通解后，將 代入即得,代入上式,2008年12月17日

9、,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,32,解,例 2,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,33,解,代入原方程,原方程的通解為,3 其他的變量替換法舉例,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,34,通解為,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,35,EX,3.,1,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,36,1,解,代入原方程,原方程的通解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,37,解,分離變量法得,所求通解為,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,38,3.,解,2

10、008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,39,( h, k 為待,例5 求解可化為齊次方程的方程,作變換,原方程化為,令, 解出 h , k,(齊次方程),定常數(shù)),2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,40,求出其通解后,即得,原方程的通解.,原方程可化為,令,(可分離變量方程),2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,41,解,代入原方程得,例,方程變?yōu)?2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,42,分離變量, 得,得原方程的通解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,43,6.5 可降階的高階方程

11、,1、 型,降階,n階降到n-1階,2、 型,3、 型,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,44,型,代入原方程, 得,解法：,特點：,P(x)的(n-k)階方程,可得通解.,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,45,解,代入原方程,解線性方程, 得,兩端積分,得,原方程通解為,例 1,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,46,型,求得其解為,原方程通解為,特點：,解法：,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,47,解,代入原方程得,原方程通解為,例 2,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學

12、系,48,6.6、微分方程應(yīng)用舉例,應(yīng)用微分方程解決實際問題的基本步驟：,（1） 分析問題，建立起實際問題的數(shù)學,模型常微分方程（組）,（2） 求解與分析這一數(shù)學模型，即求出,相應(yīng)的常微分方程（組）的解，或,是精確解或近似解，其中還包括分,析解的特性,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,49,（3） 用所得的數(shù)學結(jié)果（解的形式和數(shù),值定性分析等）回過頭去解決實際,問題，從而預測某些自然現(xiàn)象甚至,社會現(xiàn)象中的特定性質(zhì)，以便達到,能動地改變世界解決實際問題的目的。,1. 根據(jù)規(guī)律列方程，,2. 微分分析法（微元法），,3. 模擬近似法。,基本方法,例1,解,衰變規(guī)律,2008

13、年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,51,例2,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,52,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,53,例3,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,54,設(shè)在微小的時間間隔,水面的高度由h降至 ,比較(1)和(2)得:,可分離變量,所求規(guī)律為,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,56,例4,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,57,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,58,2008年12月17日,南京航空航天大學

14、 理學院 數(shù)學系,59,某車間體積為12000立方米, 開始時空氣中含有 的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量, 用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機通入含 的 的新鮮空氣, 同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風機開動6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到多少?,例4,解,設(shè)鼓風機開動后 時刻 的含量為,在 內(nèi),的通入量,的排出量,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,60,6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,61,例5,解,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,62,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,63,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,64,注意,2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,65,積分得,故有,得,(拋物線),故旋轉(zhuǎn)曲面為旋轉(zhuǎn)拋物面,方程為,將方程化為,(齊次方程),2008年12月17日,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系,66,例6 設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā)，以速度大,小為常數(shù)v沿 y軸方向運動。物體 B從點(-1,0),與A同時出發(fā)，其速度大小為2v，方向始終,指向A。試建立物體B的運,動軌跡 所滿足的微分方程，