1、1,笫七章 萬(wàn)有引力,（一）質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) （二）開普勒三定律 （三）萬(wàn)有引力定律,目 錄,2,（一）質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),一、有心力,所謂有心力，就是方向始終指向（或背向）固定中心的力.,該固定中心稱為力心.在許多情況下，有心力的大小 僅與考察點(diǎn)至力心的距離有關(guān)，即,有心力存在的空間稱為有心力場(chǎng)，如萬(wàn)有引力場(chǎng)、 庫(kù)侖力場(chǎng)、分子力場(chǎng)。,保守有心力,第六章萬(wàn)有引力,3,二、有心力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般特征,在有心力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,其特征： 運(yùn)動(dòng)必定在一個(gè)平面上,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初速度給定后，質(zhì)點(diǎn)只能在初速度與初始矢 徑所構(gòu)成的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).往往用平面極坐標(biāo)描述運(yùn)動(dòng).取力 心為原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程為,

2、方向,方向,第六章萬(wàn)有引力,4,有心力對(duì)原點(diǎn)的力矩為零，故質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量守恒., 兩個(gè)守恒量,對(duì)（2）式兩邊乘r，再對(duì)時(shí)間積分得,有心力為保守力，質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒,第六章萬(wàn)有引力,即角動(dòng)量守恒,5, 有效勢(shì)能與軌道特征,因 是運(yùn)動(dòng)常量，故機(jī)械能守恒定律可寫為,設(shè)有兩個(gè)質(zhì)量分別為m、M 的質(zhì)點(diǎn)， 則引力勢(shì)能為,有效勢(shì)能,第六章萬(wàn)有引力,則有,6,利用勢(shì)能曲線對(duì)引力場(chǎng)軌道特征作定性討論,第六章萬(wàn)有引力,質(zhì)點(diǎn)總能量E 的大小決定了質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)范圍，即質(zhì)點(diǎn)可作不同類型的軌道運(yùn)動(dòng).,E,r,拱點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的總能量為E的水平線 與有效勢(shì)能曲線的交點(diǎn),拱點(diǎn)的性質(zhì)： 在拱點(diǎn)處，r 取極值，徑向速度為

3、零，即,代入（3）式可得,7,1.若E=E10，,E=E1,r1,r2,O,可證明此軌道為一雙曲線；,第六章萬(wàn)有引力,(r,),，由方程（4）可得,8,第六章萬(wàn)有引力,2.若E=E2=0，,E=E2,r2,O,可證明此軌道為一拋物線；,(r,),，由方程（4）可得,9,第六章萬(wàn)有引力,3.若E=E30，,此軌道為一橢圓，力心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；,(r,),橢圓半長(zhǎng)軸為,，由方程（4）可得,10,第六章萬(wàn)有引力,4.若E=E4=Veff-min，,即質(zhì)點(diǎn)到力心的距離不變，此軌道為一圓.,(r,),，由方程（4）可得,11,第六章萬(wàn)有引力,1.若E=E10，此軌道為一雙曲線；,2.若E=E2=0，此

4、軌道為一拋物線；,3.若E=E30，此軌道為一橢圓，力心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；,4.若E=E4=Veff-min，此軌道為一圓.,12,有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的定量處理,第六章萬(wàn)有引力,由角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律可得,解以上方程組,i. = 0，圓方程，半徑 r = r0 ii. 0 1，雙曲線方程，焦點(diǎn):(0,0)，開口向左,13,(二)開普勒三定律,人們對(duì)金、木、水、火、土五顆行星的運(yùn)動(dòng)有過(guò)長(zhǎng)期的觀 察，特別是丹麥天文學(xué)家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）進(jìn) 行了連續(xù)20年的仔細(xì)觀測(cè)和記錄，他的學(xué)生開普勒（Kepler Johamnes,1571-1630）則花了大約20年的時(shí)

5、間分析這些數(shù)據(jù)， 總結(jié)出三條行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,一、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律,(1)軌道定律：行星沿橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一 個(gè)焦點(diǎn)上；,(2)面積定律：對(duì)任一行星，它的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò) 的面積相等；,(3)周期定律：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道半長(zhǎng)軸 a 的立方正比 于公轉(zhuǎn)周期 T 的平方,即,第六章萬(wàn)有引力,14, 利用角動(dòng)量守恒定律證明開普勒面積定律,用 表示從O到速度矢量v的垂直 距離，則有,如圖，行星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量大小為,其中 是 時(shí)間內(nèi)行星與太陽(yáng)間的聯(lián)線所掃過(guò)的面積，故,掠面速度,第六章萬(wàn)有引力,15,由于萬(wàn)有引力為有心力，它對(duì)力心的力矩總是等于零， 故角動(dòng)量守恒，亦即,這就證明了掠面速度

6、不變，也就是開普勒笫二定律.實(shí) 際上，此定律與角動(dòng)量守恒定律等價(jià).,兩焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上位置坐標(biāo)為,第六章萬(wàn)有引力,16,設(shè)行星遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的距離分別為 ，對(duì)應(yīng)的速 度為 .由機(jī)械能守恒，有,由角動(dòng)量守恒，有,第六章萬(wàn)有引力,(1),(2),17,其中考慮到,這表明太陽(yáng)位置坐標(biāo)為（-c），這正是幾何上的橢圓焦點(diǎn)位置.這一結(jié)果與天文觀測(cè)資料的一致，證明了牛頓力學(xué)理論的正確性,最為重要的是一舉同時(shí)證明了引力二次方反比律和運(yùn)動(dòng)定律兩者的正確性.,解（1）、（2）和（3）得,根據(jù)向心力公式和長(zhǎng)軸端點(diǎn)弧元的曲率半徑，有,第六章萬(wàn)有引力,最后求得,(3),（其中： ）,18,(三)萬(wàn)有引力定律,一、由開普勒定

7、律推導(dǎo)萬(wàn)有引力定律,若mms，可把太陽(yáng)看作靜止慣性系，行星軌道看作圓形，而行星應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由開普勒軌道定律得,而 ,故,取比例系數(shù)為k,則得,（注：下面推導(dǎo)中a用r代替）,第六章萬(wàn)有引力,（注：這里a為向心加速度）,19,牛頓認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的，即所有物 體之間都存在這種引力，稱之為萬(wàn)有引力。,對(duì)地球和月亮之間的吸引力應(yīng)有,根據(jù)牛頓第三定律，由以上兩式得,其比值應(yīng)是一個(gè)與地球和月亮都無(wú)關(guān)的普適常數(shù)，設(shè)為G,則,第六章萬(wàn)有引力,20,于是，地球、月亮之間的引力為,普適的萬(wàn)有引力定律則可描述為,G稱為萬(wàn)有引力常數(shù).因?yàn)橐μ酰植荒芷帘螌?duì)它的 干擾，實(shí)驗(yàn)很難做，故萬(wàn)有引力

8、常數(shù)是目前測(cè)量最不精 確的一個(gè)基本物理常量。,其量綱為,第六章萬(wàn)有引力,21,卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)（1789年）,亨利卡文迪許 (Henry Cavendish,17311810) 英國(guó)化學(xué)家、物理學(xué)家。1760年卡文迪許被選為倫敦皇家學(xué)會(huì)成員，1803年又被選為法國(guó)研究院的18名外籍會(huì)員之一 。,第六章萬(wàn)有引力,22,第六章萬(wàn)有引力,例7.1 試由地球向火星發(fā)射人造天體的發(fā)射速度。,E,S,M,解：采用雙切軌道方案（霍曼軌道方案） 設(shè)地球軌道和火星軌道半徑分別為re,rm, 則飛船運(yùn)行的雙切橢圓軌道半長(zhǎng)軸a是re,rm, 的平均值，即,雙切軌道,23,第六章萬(wàn)有引力,由,其中 C=Gmsm，ms

9、，m分別為太陽(yáng)和飛船質(zhì)量；,E為飛船擺脫地球的引力束縛后的總能量；,此時(shí)，飛船與太陽(yáng)的距離仍為re，則此時(shí)飛船的動(dòng)能為,由此解得飛船此時(shí)的速度,（注：此速度相對(duì)于太陽(yáng)）,24,相對(duì)于地球，飛船擺脫地球引力后的速度為,其中ve為地球公轉(zhuǎn)速度，ve=29.6km/s,設(shè)飛船相對(duì)于地球的發(fā)射速度為v，由機(jī)械能守恒定律可得,于是可得,其中v2為第二宇宙速度，v2=11.2km/s,第六章萬(wàn)有引力,25,第六章萬(wàn)有引力,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，可得,以及,最后可得由地球向火星發(fā)射人造天體的發(fā)射速度為,26,解：考慮產(chǎn)生“黑洞”的條件：,令笫二宇宙速度取其等于光速c，則對(duì)質(zhì)量為M的天體， 要成為“黑洞”，其半徑需為,引力半徑,第六章萬(wàn)有引力,例7.2 引力半徑與宇宙半徑,若一物質(zhì)均勻分布的半徑為 r 的球體內(nèi)，密度為 r，則總質(zhì)量為,又假設(shè) r 正好是引力半徑，則,此式表示光不可能發(fā)射到Rg以外的范