1、探索之旅,奧數(shù)專題6：容斥問題,容斥問題,1、什么是容斥問題,2、容斥原理,容斥原理的進階練習,基礎(chǔ) 詳解：什么是容斥問題,探索之旅,容斥問題,容包括 斥排除,661=11（人）,答：共有11人。,排隊問題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第6，這一排共有幾個人？,洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個夾子？,827=9（個）,答：一共要9個夾子。,容斥問題,即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。,容斥原理：對幾個事物，如果采用兩種不同的分類，那么具有性質(zhì)1或性質(zhì)2的事物個數(shù)等于性質(zhì)1性質(zhì)2減去它們的共同性質(zhì)。,例：學

2、校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共有多少人？,拉手風琴的人數(shù)：24人,彈電子琴的人數(shù)：17人,兩種都會彈的人數(shù)：8人,？人,24178=33（人）,答：一共有33人。,容斥原理：,1、找分的類：2類 找1、2類共有的,2、2類的總個數(shù)等于2類的和減去它們的共有的。,五年級學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有30人，問五年級一共有多少人？,語文優(yōu)秀的人數(shù)：65人,數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)：87人,兩科都優(yōu)秀的人數(shù)：30,？人,65

3、8730=122（人）,答：五年級一共有122人。,四（一）班學生參加數(shù)學小組和科技小組，每個學生至少參加一個小組，有25人參加數(shù)學小組，23人參加科技小組，有19人兩個小組都參加了。那么四（一）班一共有多少人？,252319=29（人）,答：一共有29人。,例：一班有48人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業(yè)？請舉手”有37人舉手，又問：“誰做完了數(shù)學作業(yè)？請舉手”有42人舉人，最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒做完？請舉手”結(jié)果沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個？,做完語文的人數(shù)：37人,做完數(shù)學的人數(shù)：42人,兩科做完的人數(shù)：？,48人,374248=31（人）,答：這

4、個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的人數(shù)是31人。,想：,五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？,語文優(yōu)秀的人數(shù)：65人,數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)：87人,兩科做完的人數(shù)：？,122人,6587122=30（人）,答：語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有30人。,在1到100的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)有多少個？,5的倍數(shù)的個數(shù)數(shù)：,6的倍數(shù)的個數(shù)：,30的倍數(shù)的個數(shù)：,？個,1005=20（個）,答：有67個。,不是5的倍數(shù)；不是6的倍數(shù)；不是30的倍數(shù),5的倍數(shù)的個數(shù)； 6的倍數(shù)的個數(shù)；30的倍數(shù)的

5、個數(shù),1006=16 （個） 4,10030=3 （個） 10,20163=33 （個）,10033=67 （個）,例：,全班學生40人，愛好音樂的有18人，愛好舞蹈的有21，愛好美術(shù)的有9人，既愛好音樂又愛好舞蹈的有3人，既愛好音樂又愛好美術(shù)的有1人，但沒有人這三種都愛好，也沒有人都不愛好的。問有多少既愛好舞蹈又愛好美術(shù)？,182193140 =4440 =4（人） 答：有4人既愛好舞蹈又愛好美術(shù)。,某班有學生50人，其中35人會游泳，38人會騎自行車，40人會溜冰，46人會打乒乓。問四項活動都會的至少有多少人？,一項不會的就不符合,一項不會的盡可能的多，即考慮重復的,不會游泳的：,5035

6、=15（人）,不會騎自行車的：,5038=12（人）,不會溜冰的：,5040=10（人）,不會打乒乓的：,5046=4（人）,四項都會的至少有：,50（1512104）=9（人）,課后過關(guān)：,一個旅行社有36人，其中會英語的有24人，會法語的18人，兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多少人？,練習時間：容斥原理,探索之旅,五年級96名學生都訂了刊物，有64人訂了少年報，有48人訂了小學生報，問兩種刊物都訂的有多少人？,64人,48人,？人（兩種都訂的）,96人,64+48-96=112-96=16（人）,1、一個班的52人都在做語文和數(shù)學作業(yè)，有32人做完了語文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學作業(yè)，這個

7、班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的有多少人？,2、五年級有112人參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課得優(yōu)，其中，語文得優(yōu)的有65人，數(shù)學得優(yōu)的有87人，問語文、數(shù)學得優(yōu)的有多少人？,3、某班有50名學生，在一次測試中有26人滿分，在第二次測試中有21人滿分。如果兩次測試都沒有得過滿分的學生有17人，那么，兩次測試都獲滿分的有多少人？,某地區(qū)的外語教師中，每人至少懂得英語和日語中一種語言。已知有35人懂英語，有34人懂日語，兩種語言都懂的有21人，這個地區(qū)有多少個外語教師？,1、某校的每個學生至少愛好體育和文娛中的一種活動，已知有900人愛好體育活動，有850人愛好文娛活動，其中260人兩種活動都愛好

8、。這個學校共有學生多少人？,2、某班在一次測試中有26人語文獲優(yōu)，有30人數(shù)學獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學雙優(yōu)的有12人，另外還有8人語文、數(shù)學都未獲優(yōu)，這個班共有多少個學生？,3、第一小組的同學們都在兩道數(shù)學思考題，做對第一題的有15人，做對第二題的有10人，兩題都做對的有7人，兩題都做錯的有2人，第一小組一共有多少人？,612= 0.87-0.49= 1740= 3.21.68= 2.80.4= 14-7.4= 5.4400= 51.06= 4.30.5= 0.1450= 5.73.9= 6.30.7= 3.060.3= 18.21.8= 9.92.7= 32.13= 7.344= 0.1250.

9、25= 2.56-0.37= 1.054= 1.5+0.254= 30.20.5= 0.841.60.840.6= 12.518.50.8=,口算下面各題：,在100個外語教師中，懂得英語的75人，懂日語的45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師，問：只懂英語的教師有多少人？,75+45=120（人）,120-100=20（人）,75-20=55（人）,答：只懂英語的教師有55人。,1、40人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題，已知做對第一題的有30人，做對第二題的有21人，問：只做對第一題的有多少人？,鞏固練習,2、五年級122名同學參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門得優(yōu)，已知語文

10、65 人得優(yōu)，數(shù)學78人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。,3、全班46名同學，僅會打乒乓球的有28人，會打乒乓球又會打羽毛球的有10人，不會打乒乓球又不會打羽毛球的有6人，僅會打羽毛球的有多少人？,例：學校開展課外活動，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學不同時活動，參加象棋組的83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個小組都參加的有25人。問：這250名同學中，乒乓球組都不會參加的有多少人？,83+86-25=169-25=144（人）,250-144=106（人）,答：乒乓球組都不會參加的有106人。,1、100位旅客中，有70人懂英語，有65人懂日語，既懂英語又懂日語的有45 人

11、，那么，既不懂英語又不懂日語的有多少人？,2、五（1）班有學生50人，在一次測試中，語文90分以上的有30人，數(shù)學90分以上的35人，語文和數(shù)學都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？,3、老師在統(tǒng)計考試成績。數(shù)學得90分以上的有25人，語文得90分以上的有21人，兩科中有一科有90分以上的有38人，問：兩樣都得90分以上的有多少人？,例：實驗小學各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有20人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6人不是四年級的，有12人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？,1、五一小學舉行小學生田徑運動會，其中24名運動員不是六年級的，28名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員