1、1,9.2 偏導(dǎo)數(shù),9.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算法,例如, 二元函數(shù) z = f (x, y), 先讓 y固定 (即y 視為常數(shù)), 這時(shí)z就是 x的一元函數(shù), z 對(duì) x的導(dǎo)數(shù),為求一元函數(shù)的變化率, 我們引入了導(dǎo)數(shù)的概念.,對(duì)于多元函數(shù), 我們先考慮它關(guān)于一個(gè)自變,量的變化率.,稱為二元函數(shù) z 對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù).,2,設(shè)二元函數(shù)z = f (x, y), P0(x0, y0)為平面上一點(diǎn).,定義9.3,如果z = f (x, y0)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義且在x0點(diǎn),即極限,存在,則稱此極限為函數(shù),對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),可導(dǎo),3,同理,可定義函數(shù) 在點(diǎn) 處,對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為,4,的偏導(dǎo)數(shù),如果函

2、數(shù) z=f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn) (x, y) 處 對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 x、y,同理, 可以定義函數(shù) 對(duì)自變量 y,數(shù), 簡稱偏導(dǎo)數(shù).,的函數(shù), 稱其為函數(shù)z=f (x, y)對(duì)自變量 x 的偏導(dǎo)函,記作 或,記作 或,5,求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法,利用一元函數(shù),只需將y 看作常量,的求導(dǎo)法對(duì)x 求導(dǎo)即可.,解,例 求 在點(diǎn) 處的偏導(dǎo)數(shù),6,證,證畢,例 設(shè),證明,7,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),如 在 處,8,解,利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性, 有,例 求 的偏導(dǎo)數(shù),9,三個(gè)偏導(dǎo)數(shù).,解,求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),例,變?yōu)橐辉瘮?shù),代入,在點(diǎn)(1,0,

3、2)處的,可將其它變量的值,再求導(dǎo),常常較簡單.,10,求 在點(diǎn)(1,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).,解1,練習(xí),解2,11,證,例 已知理想氣體的狀態(tài)方程,(R 為常數(shù)), 求證:,12,有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：,例,解,1. 偏導(dǎo)數(shù) 是一個(gè)整體記號(hào), 不能拆分;,2. 分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;,13,按定義得,14,3. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,？,但函數(shù)在該點(diǎn)處沒有極限，所以不連續(xù).,偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).,一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，,多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,由前面的例子可知在(0,0)處,例如, 函數(shù),15,例 研究函數(shù) 在(0,0)點(diǎn)的,解 因?yàn)?連續(xù)性與可偏導(dǎo)性.,所以

4、, 函數(shù)在(0,0)點(diǎn)連續(xù).,而,所以,16,二元函數(shù)f(x, y)在點(diǎn) (x0, y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在該點(diǎn)連續(xù)的 ( ).,A. 充分條件而非必要條件,B. 必要條件而非充分條件,C. 充分必要條件,D. 既非充分條件又非必要條件,D,練習(xí),17,設(shè)二元函數(shù),在點(diǎn),有,如圖,為曲面,偏導(dǎo)數(shù).,上的一點(diǎn),過點(diǎn),作平面,此平面,與曲面相交得一曲線,曲線的,方程為,由于偏導(dǎo)數(shù),等于一元函數(shù),的,導(dǎo)數(shù),故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,9.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,18,可知:,偏導(dǎo)數(shù),在幾何上表示,曲線,在點(diǎn),處的切線對(duì),x軸的斜

5、率;,偏導(dǎo)數(shù),在幾何上表示,曲線,在點(diǎn),處的切線對(duì)y軸的斜率.,19,設(shè),20,例 求曲線,在點(diǎn)(2,4,5)處的切線,與x軸正向所成的傾角.,解,21,純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).,9.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)為,22,解,例 設(shè),求,23,一般地, 多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連,續(xù)就與求導(dǎo)次序無關(guān).,如果函數(shù),的兩個(gè)二階混合偏,在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),定理9.1,那么在,導(dǎo)數(shù),該區(qū)域內(nèi),如,問題: 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎? 具備怎樣的條件 才相等 ?,24,解,利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,例 驗(yàn)證函數(shù) 滿足,拉普拉斯方程,25,例,驗(yàn)證函數(shù),滿足波動(dòng)方程:,證,因