1、第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,二、方向?qū)?shù)的定義,三、梯度的概念,一、問題的提出,實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,一、問題的提出,二、方向?qū)?shù)的定義,回顧函數(shù) 在點(diǎn) 處關(guān)于 的偏導(dǎo)數(shù)定義：,（如圖）,討論函數(shù) 在一點(diǎn) 沿任意方向的變化率問題就是方向?qū)?shù)問題,當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，,是否存在？,1、方向?qū)?shù)的定義,依定義，函數(shù)

2、 在點(diǎn) 沿著 軸正向 、 軸正向 的方向?qū)?shù)分別 為 .,沿著 軸負(fù)向、 軸負(fù)向的方向?qū)?shù) 分別是： .,2、方向?qū)?shù)的計(jì)算,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,注：,(1) 僅由函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)，未必可推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)存在.,此例同時(shí)也說明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)也未必能推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在.,(2) 函數(shù)在一點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在， 也未必在該點(diǎn)處連續(xù).,此例同時(shí)也說明函數(shù)可微并不是函數(shù)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在的必要條件.,解,解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,故,3、方向?qū)Ш瘮?shù),若 在區(qū)域 內(nèi)任何一點(diǎn)方向 的 方向?qū)?shù)都存在，則 是 上的一個(gè)函數(shù)， 稱為方向?qū)?/p>

3、函數(shù).,4、推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,*5、方向?qū)?shù)的幾何意義：,是函數(shù) 沿方向 的變化率,*6、二階方向?qū)?shù),如果 在 沿 仍有方向?qū)?shù) ,就把它稱為 在 沿 的二階方向?qū)?shù)并記作 .,二階方向?qū)?shù)幾何意義： ，則說明在 的近旁 的 切線斜率沿 方向單調(diào)增加，曲線為下凸； ， 的切線斜率沿 方向單調(diào)減少，曲線 為上凸.,三、梯度的概念1、定義,方向：f ( x , y ) 變化率最大的方向,模 : f ( x , y ) 的最大變化率之值,2、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,2、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,2) 在點(diǎn) 處沿與梯度 垂直方向的方向?qū)?shù)等于零.,3) 在點(diǎn) 沿方向 的方向?qū)?shù)等于梯度在方向

4、 上的投影.,在幾何上 表示一個(gè)曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在xoy面上投影如圖,等高線,梯度為等高線上的法向量,3、梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,解,由梯度計(jì)算公式得,故,4、梯度應(yīng)用實(shí)例,*四、物理意義,函數(shù),數(shù)量場(chǎng) (數(shù)量值函數(shù)),場(chǎng),向量場(chǎng)(向量值函數(shù)),可微函數(shù) f ( P ),梯度場(chǎng) grad f ( P ),( 勢(shì) ),如: 溫度場(chǎng), 電位場(chǎng)等,如: 力場(chǎng),速度場(chǎng)等,(向量場(chǎng)),注意: 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).,1、方向?qū)?shù)的概念,2、梯度的概念,3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,（注意梯度是一個(gè)向量）,五、小結(jié),1、方向?qū)?shù)的概念,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,五、小結(jié),二元函數(shù) f ( x,y ) 在點(diǎn) P( x,y ) 沿方向 (方向角為 ) 的方向?qū)?shù)為:,三元函數(shù) f ( x,y,z ) 在點(diǎn) P( x,y,z ) 沿方向 (方向角為 ) 的方向?qū)?shù)為:,2、梯度的概念,（注意梯度是一個(gè)向量）,二元函數(shù) f ( x,y ) 在點(diǎn) P( x,y ) 的梯度為:,三元函數(shù) f ( x,y,z ) 在點(diǎn)