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1、高鐵1602 314宿舍,易拉罐尺寸的最優(yōu)設計方案,銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同，這是為什么呢？,問題： 1.假設易拉罐是一個正圓柱體且底面和側面的厚度相同，什么是它的最優(yōu)設計？ 2.如果易拉罐是一個正圓柱體，但底面和側面厚度不同（例如底面厚度是側面厚度的3倍），如何設計最優(yōu)？,一、摘要,對問題一，我們通過實際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。 對問題二，在假設易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型,由微積分方法求最優(yōu)解，結論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最?。?在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設想為外體積減內(nèi)體積，得用料模

2、型：,二、模型建立,問題二：正圓柱形易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型 （1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形由圖1可知： 容積為 ： 表面積為 ： 模型一：,圖1 各點罐壁厚度相同的圓柱形易拉罐,模型一：,（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根據(jù)材料的用量與其體積成正比。 容積一定時，所用材料的體積最小時的尺寸即易拉罐的最優(yōu)尺寸，所需要的材料為：,圖2 有不同罐壁厚度的圓柱形易拉罐,模型二：,應使Y取最小值，,模型二：,（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度4的情形 在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同工作量有影響，使得易拉罐的材料用量最省的同時，焊縫長度也盡

3、量取到最小。 根據(jù)模型分析，可得焊縫長度：,將焊縫的長度為Z時的工作量轉化為同等的材料體積，從而可以將二者直接相加。,模型三：,（此模型即為求解問題二的完善模型）,1. 問題一的求解 表1 10種355ml易拉罐飲料的相關測量數(shù)據(jù),三、模型求解,表2 GBT 91062001中規(guī)定的罐體主要尺寸(單位：毫米)5,（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根據(jù)模型二， 用拉格朗日乘數(shù)法求解新的函數(shù)：,然后分別對,，,，,解得：,即 圓柱體的高與半徑 之比為6時為最優(yōu)尺寸,（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形 根據(jù)模型一知：,取最小值時，必定有,，,圖7 體積一定時,隨,變化的曲線,即易拉罐的高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）時，所需材料最少。,根據(jù)問題一中測得的實際數(shù)據(jù)可以得到 表3 檢驗數(shù)據(jù)表,由表3可知：所有,均在此范圍內(nèi)，在1與3之間必有一個最優(yōu)值符合實際條件，從結果可大致得出此最優(yōu)值

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