1、三垂線定理練習(xí)課一教學(xué)目標(biāo)1進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；2理解公式cos1cos2cos的證明及其初步應(yīng)用；（課本第122頁第3題）3理解正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直及其應(yīng)用；4了解課本第33頁第11題教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來解有關(guān)的題教學(xué)的難點(diǎn)是在講公式cos1cos2cos應(yīng)用時(shí)比較2與的大小教學(xué)設(shè)計(jì)過程師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應(yīng)用了這兩個(gè)定理來解一些有關(guān)的題今天我們要進(jìn)一步應(yīng)用這兩個(gè)定理來解一些有關(guān)的題，先看例1例1 如圖1，AB和平面所成的角是1；AC在平面內(nèi)，BB平面于B，AC和AB

2、的射影AB成角2，設(shè)BAC求證：cos1cos2cos師：這是要證明三個(gè)角1，2和的余弦的關(guān)系，1已經(jīng)在直角ABB中，我們能否先作出兩個(gè)直角三角形分別使2和是這兩個(gè)直角三角形中的銳角生：作BDAC于D，連BD，則BDAC于D這時(shí)2是直角BDA中的一個(gè)銳角，是直角ABD中的一個(gè)銳角師：剛才的表述是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理時(shí)常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應(yīng)用現(xiàn)在已經(jīng)知道1、2和分別在三個(gè)直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個(gè)角的余弦，再來證明這公式師：這個(gè)公式的證明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應(yīng)用了三垂

3、線定理當(dāng)然也可用它的逆定理這個(gè)公式是在課本第121頁總復(fù)習(xí)參考題中的第3題我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個(gè)公式呢？講這個(gè)公式的目的是為了用這個(gè)公式，因?yàn)樵诮庠S多有關(guān)題時(shí)都要用到這公式那我們要問在什么條件下可用這個(gè)公式？生：因?yàn)?是斜線AB與平面所成的角，所以只有當(dāng)圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時(shí)，才有可能考慮用這公式師：為了在使用這個(gè)公式時(shí)方便、易記，我們規(guī)定1表示斜線與平面所成的角，2是平面內(nèi)過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，是這條射線與斜線所成的角下面我們來研究一下這個(gè)公式的應(yīng)用應(yīng)用這個(gè)公式可解決兩類問題第一是求值即已知這公式中的兩個(gè)角，即可求出第三個(gè)角或其余弦值例如：60，這時(shí)2；當(dāng)145，213

4、5時(shí)，coscos45cos135第二是比較2與的大小因?yàn)槲覀円呀?jīng)規(guī)定1是斜線與平面所成的角，一定有0190，它的大小不變，為了比較2與的大小，下面分三種情況進(jìn)行討論（1）290，因?yàn)?90，所以cos20，因此coscos1cos20，故90當(dāng)90時(shí)，我們也可以證明290一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直這就是三垂線定理一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直這就是三垂線定理的逆定理所以，我們可以這樣說，這個(gè)公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況現(xiàn)在我們來研究在2是銳角時(shí)，2與的大?。?）0290師：在這個(gè)條件下，我們?cè)鯓觼肀容^2

5、與的大??？生：因?yàn)?190，所以0cos11，又因?yàn)?290，所以0cos21又因?yàn)閏oscos1cos2，所以0cos11，而且coscos1cos2cos2，在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對(duì)應(yīng)的角小所以2師：現(xiàn)在我們來討論當(dāng)2是鈍角時(shí)，2與的大?。?）902180在這個(gè)條件下，我們不再用公式cos1cos2cos做理論上的證明來比較2與的大小，而是一起來看模型（或圖形）我們假設(shè)2的鄰補(bǔ)角為2，的鄰補(bǔ)角為，即22180，180在模型（或圖形）中我們可以看出當(dāng)2是鈍角時(shí)，也是鈍角，所以它們的兩個(gè)鄰補(bǔ)角2和都是銳角，由對(duì)第二種情況的討論我們知道2由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由218

6、02，180，可得2根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：當(dāng)290時(shí)，290，它們都是直角當(dāng)0290時(shí)，2，它們都是銳角；當(dāng)902180時(shí)，2，它們都是鈍角關(guān)于公式cos1cos2cos的應(yīng)用，今后還要隨著課程的進(jìn)展而反復(fù)提到現(xiàn)在我們來看例2例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）A1C平面C1DB于G；（2）垂足G為正C1DB的中心；（3）A1G2GC師：我們先來證明第（1）問要證直線與平面垂直即要證什么？生：要證A1C與平面C1DB內(nèi)兩條相交的直線垂直師：我們先證A1C為什么與DB垂直？生：連AC，對(duì)平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射

7、影，因?yàn)锳CDB（正方形的性質(zhì)），所以 A1CDB（三垂線定理）同理可證A1CBC1因?yàn)锳1C平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）（在證A1CBC1時(shí)，根據(jù)情況可詳、可略，如果學(xué)生對(duì)應(yīng)用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學(xué)生把這證明過程再敘述一遍，因?yàn)檫@時(shí)是對(duì)平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1CBC1，得A1CBC1）師：現(xiàn)在來證第（2）問，垂足G為什么是正C1DB的中心？生：因?yàn)锳1BA1C1A1D，所以BGGC1DG，故G是正C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正C1DB的中心師：現(xiàn)在來證第（3）問，我們注意看正方體的對(duì)角

8、面A1ACC1，在這對(duì)角面內(nèi)有沒有相似三角形？生：在正方體的對(duì)角面A1ACC1內(nèi)，由平面幾何可知A1GC1OGC，且A1C1OCA1GGC，所以A1GGC21，因此A1G2GC師：例2是在正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直引申而來，而例2也是一個(gè)基本的題型，對(duì)于以后證有關(guān)綜合題型時(shí)很有用所以對(duì)例2的證明思路和有關(guān)結(jié)論，盡可能的理解、記住現(xiàn)在我們來看例3例3 如圖3，已知：RtABC在平面內(nèi)，PC平面于C，D為斜邊AB的中點(diǎn)，CA6，CB8，PC12求：（1）P，D兩點(diǎn)間的距離；（2）P點(diǎn)到斜邊AB的距離師：現(xiàn)在先來解第（1）問，求P，D兩點(diǎn)間的距離師：現(xiàn)在我們來解第（2）問，求P點(diǎn)到A

9、B邊的距離生：作PEAB于E，連CE則CEAB（三垂線定理的逆定理）PE就是P點(diǎn)到AB邊的距離師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？生：可用等積式CEABACCB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積師：這個(gè)等積式是怎樣證明的？生：有兩種證法因CEAB是RtABC面積的二倍，而ACCB也是RtABC面積的二倍，所以它們相等；也可用BCEABC，對(duì)應(yīng)邊成比例推出這個(gè)等積式師：這個(gè)等積式很有用，根據(jù)這個(gè)等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個(gè)等積式以后在求有關(guān)距離問題時(shí)會(huì)常常用到，所以要理解、記住、會(huì)用現(xiàn)在就利用這

10、等積式先求CE，再求PE師：通過這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點(diǎn)到直線距離時(shí)，經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時(shí)會(huì)利用上述的等積式來求斜邊上的高現(xiàn)在我們來看例4例4 如圖4，已知：BAC在平面內(nèi)，PO ，PO平面于O如果PABPAC求證：BAOCAO（這個(gè)例題就是課本第32頁習(xí)題四中的第11題這個(gè)題也可以放在講完課本第30頁例1以后講不論在講課本第30頁例1，還是在講這個(gè)例時(shí)，都應(yīng)先用模型作演示，使學(xué)生在觀察模型后，得出相關(guān)的結(jié)論，然后再進(jìn)行理論上的證明，這樣使學(xué)生對(duì)問題理解得具體、實(shí)在，因而效果也較好）師：當(dāng)我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結(jié)論即斜線

11、PA在平面上的射線是BAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有幾種證法？生：作ODAB于D，作OEAC于E，連PD，PE，則PDAB，PEAC所以RtPADRtPAE，因此PDPE，故ODOE，所以BAOCAO師：今天我們講了公式cos1cos2cos能否用這公式來證明這題（利用這公式來證明這個(gè)題，完全是由學(xué)生想到的，當(dāng)然如果有的班學(xué)生成績(jī)較差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因?yàn)镻AO是斜線與平面所成的角，所以可以考慮用公式cos1cos2cosPAO相當(dāng)于1；PABPAC它們都相當(dāng)于，由公式可得22，即BAOCAO師：今天我們是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理來解這四個(gè)例題例1、例2、例4是三個(gè)基本題對(duì)這三個(gè)題一定要會(huì)證、記住、會(huì)用關(guān)于這三個(gè)題的應(yīng)用，以后還會(huì)在講課過程中反復(fù)出現(xiàn)在高考題中也曾用到作業(yè)課本第33頁第13題補(bǔ)充題1已知：BSC90，直線SA平面BSCSASBASC60，求：SA和平面BSC所成角的大小452已