1、三、二重積分的換元法,第二節(jié),一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,二重積分的計(jì)算法,第十章,任取,平面,故曲頂柱體體積為,截面積為,截柱體的,且在 D 上連續(xù),則,表示曲頂柱體體積.,一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,二次積分或 累次積分,平面區(qū)域D的兩種簡(jiǎn)單類型:,1. D為 X 型區(qū)域,D為Y 型區(qū)域,2.,說(shuō)明:,為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.,則有,(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干,X-型域或Y-型域(如圖) ,則,(1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 ,例1. 計(jì)算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域.,解法1

2、. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,例2. 計(jì)算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線,則,例3. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.,解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,例4. 將二重積分,其中D 如下圖所示.,化為累次積分，,(1),(2),例5. 交換下列積分順序,解: 積分域由兩部分組成:,視為Y型區(qū)域 , 則,例6. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,因此先對(duì) y 積分：,先對(duì) x 積分不行,例7 計(jì)算,其中 D 是

3、由直線,所圍成.,解：,例8. 計(jì)算,其中D 由,所圍成.,解: 令,(如圖所示),顯然,練習(xí). 計(jì)算下列二重積分,解:,解:,原式,解:,原式,積分區(qū)域 D 可表示為：,解：,(4),計(jì)算積分,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,思考：,其中,利用直角坐標(biāo)無(wú)法計(jì)算，改用極坐標(biāo).,極坐標(biāo)下,則,則,1).,則,2).,則,D :,若 f 1 則可求得D 的面積,思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試,答:,問(wèn) 的變化范圍是什么?,(1),(2),例9. 計(jì)算,其中,解: 在極坐標(biāo)系下,原式,故,注:,證明,事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),利用例10的結(jié)果, 得,故式成立 .,在極

4、坐標(biāo)系下,圓方程為,直線方程為,例10.,解:,寫出積分 的極坐標(biāo)二次 積分,形式, 其中,r = 1,例11.,將下列積分化成極坐標(biāo)形式。,例12. 求,其中D 為由圓,所圍成的,及直線,解：,平面閉區(qū)域.,例13. 求球體,被圓柱面,所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.,解: 設(shè),由對(duì)稱性可知,定積分換元法,三、二重積分換元法,滿足,一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);,雅可比行列式,(3) 變換,則,定理:,變換:,是一一對(duì)應(yīng)的 ,證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆.,用平行于坐標(biāo)軸的,直線分割區(qū)域,任取其中一個(gè)小矩,形, 其頂點(diǎn)為,通過(guò)變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊,形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為,則,同理得,

5、當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四,邊形,故其面積近似為,因此面積元素的關(guān)系為,從而得二重積分的換元公式:,例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),例15. 計(jì)算,其中D 是 x 軸 y 軸和直線,所圍成的閉域.,解: 令,則,例16. 計(jì)算由,所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .,解: 令,則,例17. 試計(jì)算橢球體,解:,由對(duì)稱性,令,則D 的原象為,的體積V.,內(nèi)容小結(jié),(1) 二重積分化為累次積分的方法,直角坐標(biāo)系情形 :,若積分區(qū)域?yàn)?則,若積分區(qū)域?yàn)?則,則,(2) 一般換元公式,且,則,極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)?在變換,下,(3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng), 畫出積分域, 選擇坐標(biāo)系, 確定積分序, 寫出積分限, 計(jì)算要簡(jiǎn)便,域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離,積分域分塊要少,累次積好算為妙,圖示法,不等式,( 先積一條線, 后掃積分域 ),充分利用對(duì)稱性,應(yīng)用換元公式,思考與練習(xí),1. 設(shè),且,求,提示:,交換積分順序后, x , y互換,2. 交換積分順序,提示: 積分域如圖,作業(yè),P154 1 (2), (4); 2 (1), (3); 4(4); 6 (2), (4); 1