1、4 用向量討論垂直與平行（二）學習目標1.能用向量法判斷一些簡單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關(guān)系的有關(guān)定理.知識點一向量法判斷線線垂直思考若直線l1的方向向量為1(1,3,2)，直線l2的方向向量為2(1，1,1)，那么兩直線是否垂直？用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？梳理設(shè)直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lm_.知識點二向量法判斷線面垂直思考若直線l的方向向量為1，平面的法向量為2，則直線l與平面的位置關(guān)系是怎樣的？如何用向量法判斷直線

2、與平面的位置關(guān)系？梳理設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為(a2，b2，c2)，則la_.知識點三向量法判斷面面垂直思考平面，的法向量分別為1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐標法表示兩平面，垂直的關(guān)系式是什么？梳理若平面的法向量為(a1，b1，c1)，平面的法向量為(a2，b2，c2)，則0_.類型一證明線線垂直例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為1，M是底面BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CNCC1.求證：AB1MN. 反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系寫出點的坐標求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直.跟蹤

3、訓練1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求證：ACBC1. 類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點. 求證：AB1平面A1BD.反思與感悟用坐標法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標系.(2)將直線的方向向量用坐標表示.(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量.(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標系.(2)將直線的方向向量用坐標表示.(3)求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓練2如圖，在長方體AB

4、CDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，點P為DD1的中點.求證：直線PB1平面PAC. 類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E為BB1的中點，求證：平面AEC1平面AA1C1C.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.跟蹤訓練3在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF平面ABC.1.下列命題中，真命題的個數(shù)為()若n1，n2分別是平面，的法向量

5、，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的法向量，則 n1n20；若n是平面的法向量，a與平面平行，則na0；若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.42.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為()A.a(1,0,0)，b(3,0,0)B.a(0,1,0)，b(1,0,1)C.a(0,1，1)，b(0，1,1)D.a(1,0,0)，b(1,0,0)3.若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為(2,0，4)，則()A.l B.lC.l D.l與斜交4.平面的一個法向量為m(1,2,0)，平面的一個法向量為n(2，1,0)，則平面與

6、平面的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能確定5.已知平面內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一個法向量為n(1，1，1)，則不重合的兩個平面與的位置關(guān)系是_.空間垂直關(guān)系的解決策略幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對于直線l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m與n相交，則l.(2)若lm，m，則l(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量面面垂直對于直線l，m

7、和平面，(1)若l，l，則.(2)若l，m，lm，則.(3)若平面與相交所成的角為直角，則證明兩個平面的法向量互相垂直提醒：完成作業(yè)第二章4(二)答案精析問題導學知識點一思考l1與l2垂直，因為121320，所以12.又1，2是兩直線的方向向量，所以l1與l2垂直.判斷兩條直線是否垂直的方法：(1)在兩直線上分別取兩點A、B與C、D，計算向量與的坐標，若0，則兩直線垂直，否則不垂直.(2)判斷兩直線的方向向量的數(shù)量積是否為零，若數(shù)量積為零，則兩直線垂直，否則不垂直.梳理ab0a1b1a2b2a3b30知識點二思考垂直，因為12，所以12，即直線的方向向量與平面的法向量平行，所以直線l與平面垂直

8、.判斷直線與平面的位置關(guān)系的方法：(1)直線l的方向向量與平面的法向量共線l. (2)直線的方向向量與平面的法向量垂直直線與平面平行或直線在平面內(nèi).(3)直線l的方向向量與平面內(nèi)的兩相交直線的方向向量垂直l.梳理ak(kR)知識點三思考x1x2y1y2z1z20.梳理a1a2b1b2c1c20題型探究例1證明設(shè)AB中點為O，作OO1AA1.以O(shè)為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得A，B，C，N，B1.M為BC中點，M.，(1,0,1)，00，AB1MN.跟蹤訓練1證明直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C

9、兩兩垂直.如圖，以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0，ACBC1.例2證明如圖所示，取BC的中點O，連接AO. 因為ABC為正三角形，所以AOBC.因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，以，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).所以(1,2，)，(1,

10、2，)，(2,1,0).因為1(1)22()0，1(2)21()00，所以，即AB1BA1，AB1BD.又因為BA1BDB，所以AB1平面A1BD.跟蹤訓練2證明如圖建立空間直角坐標系，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,1).(1,1,1)(1,0，1)0，所以，即PB1PC.又(1,1,1)(0,1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，所以PB1平面PAC.例3證明由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0，0，)，故(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，(2,0，).設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1(x，y，z)，則即令x1，得y1，故n1(1,1,0).設(shè)平面AEC1的法向量為n2(a，b，c)，則即令c4，得a1，b1，故n2(1，1,4).因為n1n2111(1)040，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.跟蹤訓練3證明以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)A(0,0，a)，則易得B(0,0，0)，C，