1、第二章 矩陣復(fù)習(xí)課,主要內(nèi)容 典型例題 自測(cè)題,本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,矩陣的定義,由 個(gè)數(shù),排成的 行 列的數(shù)表,稱為矩陣的第i行j列的元素.,元素為實(shí)數(shù)的稱為實(shí)矩陣,元素為復(fù)數(shù)的稱為復(fù)矩陣.,2. 幾種特殊矩陣,元素全為零的 矩陣，記為:O或,零矩陣:,行矩陣:,只有一行的矩陣。,列矩陣:,只有一列的矩陣。,方陣:,行數(shù)列數(shù)皆相等的矩陣。,上三角方陣:,非零元素只可能在主對(duì)角線及其上方。,下三角方陣:,非零元素只可能在主對(duì)角線及其下方.,對(duì)角方陣:,數(shù)量矩陣:,單位方陣:,主對(duì)角線上全為1的對(duì)角方陣.,3. 矩陣的運(yùn)算,同型矩陣:,行數(shù)和列數(shù)均相等的矩陣.,如果兩個(gè)矩陣 是同型矩,陣,且各對(duì)應(yīng)元素

2、也相同,即,則稱矩陣 相等,記作,兩個(gè) 矩陣 的和,矩陣的和:,矩陣相等:,定義為,矩陣的數(shù)乘:,定義為,矩陣的線性運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律:,矩陣相乘:,矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律,（其中 為數(shù)）;,n階方陣的冪:,若A是 階矩陣，定義 為A的 次冪, 為正整數(shù)，,易證,轉(zhuǎn)置矩陣:,轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)稱陣:,設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即.,則 稱為對(duì)稱陣.,反對(duì)稱陣:,伴隨方陣:,余子式,稱方陣,為方陣 的伴隨方陣.,4. 方陣的行列式,由 階方陣 的各元素按原位置排列構(gòu)成的,行列式，叫做方陣 的行列式，記作 或,運(yùn)算性質(zhì),5. 逆矩陣,對(duì)于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 ,使得,則稱 為可逆矩陣， 是

3、的逆方陣。,定義,可逆,相關(guān)定理及性質(zhì),6. 分塊矩陣,矩陣的分塊，主要目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算及便于論證,分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相似,典型例題,一、矩陣的運(yùn)算 二、有關(guān)逆矩陣的運(yùn)算及證明 三、矩陣方程及其求解方法,一、矩陣的運(yùn)算,矩陣運(yùn)算有其特殊性，若能靈活地運(yùn)用矩陣的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律，可極大地提高運(yùn)算效率.,例1,注：對(duì)一般的 階方陣 ，我們常常用歸納的方 法求 .,例2,解:,例3,若 階實(shí)對(duì)稱陣 滿足 ,證明,證: 為對(duì)稱陣,故有 ,因此有,比較 兩端的 元素,由于 為實(shí)數(shù),故 即,二、有關(guān)逆矩陣的運(yùn)算及證明,1. 利用定義求逆陣,利用定義求 階方陣 逆陣，即找或猜或湊一個(gè),

4、階方陣 ，使 或 ，從而 .,例4,例4,2. 利用伴隨矩陣 求逆陣,例5,注：對(duì)2階數(shù)字方陣求逆一般,都用 來(lái)做，既簡(jiǎn)便又迅速，但對(duì)3階及其以上的數(shù)字方陣一般不使用 求其逆陣，因?yàn)槿粲?去做，計(jì)算工作量太大且容易出錯(cuò)，而是利用下章所介紹的初等變換法.,3. 利用分塊矩陣求逆陣,例6,從而,4. 利用定義證明某一矩陣 為矩陣 的逆陣,例7,注：1. 矩陣的逆陣是線性代數(shù)中非常重要的一個(gè)內(nèi)容，主要包括：,證明矩陣 可逆；求逆陣；證明矩陣 是矩,2. 證明矩陣 A 可逆，可利用 A 的行列式不為零或找一個(gè)矩陣 B，使 AB=E 或 BA=E 等方法；對(duì)數(shù)字矩陣，若求其逆陣，一般用 A*(如2階矩陣)或初等變換(3階及3階以上的方陣)的方法來(lái)做，有時(shí)也利用分塊矩陣來(lái)做.對(duì)抽象的矩陣 A，若求其逆，一般是用定義或 A*來(lái)做；證明矩陣 B 是矩陣 A 的逆陣，只需驗(yàn)證 AB=E 或 BA=E 即可.,陣 的逆陣.,三. 矩陣方程及其求解方法,矩陣方程,解,例8,以及 及 ，再求 及 就麻煩多了. 因此，在求解矩陣方程時(shí)，一定要注意先化簡(jiǎn)方程.,例9,注：此題若不先化簡(jiǎn)給出的矩陣方程，而直接求,第二章自測(cè)題,一、填