1、1,第十章 電荷和靜電場,2,10-3 高斯定理,10-1 電荷和庫侖定律,第十章 電荷和靜電場,10-2 電場和電場強度,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,10-5 靜電場中的金屬導體,10-6 電容和電容器,10-7 靜電場中的電解質(zhì),10-8 靜電場的能量,3,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,原子是電中性的? 自然界中有兩種電荷：正電荷、負電荷。,一、電荷 (charge),電荷量子化是個實驗規(guī)律,實驗證明微小粒子帶電量的變化是不連續(xù)的，它只能是元電荷 e 的整數(shù)倍 , 即粒子的電荷是 量子化的： Q = n e ; n = 1, 2 , 3,1.電荷的種類,4,10-1 電荷的

2、量子化及電荷守恒定律,2.電荷守恒,一個與外界沒有電荷交換的孤立系統(tǒng)，無論發(fā)生什么變化，整個系統(tǒng)的電荷總量(正、負電荷的代數(shù)和)必定保持不變。這個結(jié)論稱為電荷守恒定律，它是物理學中具有普遍意義的定律之一，也是自然界普遍遵從的一個基本規(guī)律。它不僅適用于宏觀現(xiàn)象和過程，也適用于微觀現(xiàn)象和過程。,5,自然界中的微觀粒子有幾百種,其中帶電粒子所具有的電荷數(shù)均為+e 或-e 的整數(shù)倍。因此電荷量子化是普遍的量子化規(guī)律。現(xiàn)代實驗結(jié)果證明電荷量子化具有相當高的精度。,在近代物理中發(fā)現(xiàn)強子(如質(zhì)子、中子、介子等)是由夸克(quark)構(gòu)成的，夸克所帶電量為e的1/3或2/3。但是到目前為止還沒有發(fā)現(xiàn)以自由狀態(tài)

3、存在的夸克。電量的最小單元不排除會有新的結(jié)論，但是電量量子化的基本規(guī)律是不會變的。,在相對論中物質(zhì)的質(zhì)量會隨其運動速率而變化，但是實驗證明一切帶電體的電量不因其運動而改變，電荷是相對論性不變量。,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,6,3.電荷特點 電荷只有兩種，即正(+)電荷和負()電荷； 電荷是量子化的，任何物體所帶電荷的量不可能連續(xù)變化，只能一份一份地增加或減少，這種性質(zhì)稱為電荷的量子化。電荷的最小份額稱為基本電荷，常用e表示； 微觀粒子所帶電荷普遍存在一種對稱性，即對于每一種帶正電荷的微觀粒子，無一例外地，必然存在與之相對應的、帶等量負電荷的另一種微觀粒子； 遵從電荷守恒定律； 電荷

4、是相對論性不變量，即粒子所帶電量與它的運動速率無關(guān)。,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,7,二、庫侖定律(Coulomb law),在真空中兩個相對于觀察者靜止的點電荷之間的相互作用力的大小與它們所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比 ,方向沿兩電荷的連線,同號相斥,異號相吸,庫侖力滿足牛頓第三定律,其中 為q1 指向q2 的矢量,設(shè)q2 受到 q1 的作用力為F12 則：,當q2 與q1 異號時, F12 與r12 方向相反,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,8,是國際單位制中的比例系數(shù),稱為真空電容率或真空介電常量。,自然界存在四種力：強力、弱力、電磁力和萬有引力, 把1

5、0-15m的尺度上兩個質(zhì)子間的強力的強度規(guī)定為1, 其它各力的強度是：電磁力為102，弱力為109，萬有引力為1039。在原子、分子的構(gòu)成以及固體和液體的凝聚等方面，庫侖力都起著主要的作用。,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,只適用于描述兩個相對于觀察者為靜止的點電荷之間的相互作用,9,例1：三個點電荷q1=q2=2.010-6C , Q=4.010-6C ， 求q1 和 q2 對Q 的作用力。,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,10,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,例2：兩個相同的小球質(zhì)量都是m，并帶有等量同號電荷q，各用長為l的絲線懸掛于同一點。由于電荷的斥力作用，使小球處于

6、圖示的位置。如果角很小，試兩個求小球的間距x為多少？,例3：兩大小相同的球,質(zhì)量均為m,并帶相同的電荷q,一長度為l的絲線懸掛,如圖所示,設(shè)較小, tg可以近似用sin表示,則平衡時兩球分開的距離x約等于(其中 ),11,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,例4：兩個點電荷所帶電荷之和為Q，問問它們各帶電量為多少時，相互間的作用力最大？,1、兩個同號電荷所帶電量之和為Q，問它們各帶電量為多少時，其間相互作用力最大 A、q1=Q/2;q2=Q/2B、q1=Q/4;q2=3Q/4 C、q1=-Q/4;q2=5Q/4D、q1=-Q/2;q2=3Q/2 2、將某一點電荷Q分成兩部分，讓它們相距為1米

7、，兩部分的電量分別為q1和q2，兩部分均看作點電荷，要使兩電荷之間的庫侖力最大，則q1和q2的關(guān)系是： A: q1=2q2B: 2q1=q2 C: q1=q2 D: q1q2,思 考,12,10-1 電荷的量子化及電荷守恒定律,3、兩個帶有等量同號電荷，形狀相同的金屬小球A和B相互之間的作用力為f ，它們之間的距離遠大于小球本身的直徑?，F(xiàn)在用一個帶絕緣柄的原來不帶電的相同的金屬小球C去和小球A接觸，再和B接觸，然后移去，則球A球B之間的作用力變?yōu)?(a) f / 2 (b) f / 4 (c) 3f / 8 (d) f /10,13,10-2 電場和電場強度,一、電場(electric fie

8、ld ),1. 在電荷周圍空間存在一種特殊物質(zhì)，它可以傳遞電荷之間的相互作用力，這種特殊物質(zhì)稱為電場。靜止電荷周圍存在的電場，稱靜電場，這就是所謂的近距作用。,2. 任何進入該電場的帶電體，都受到電場傳遞的作用力的作用，這種力稱為靜電場力。,3.當帶電體在電場中移動時，電場力對帶電體作功, 表明電場具有能量。,實驗表明電場具有質(zhì)量、動量、能量，體現(xiàn)了它的物質(zhì)性。,14,二、電場強度 (electric field intensity),物理 意義,1. 試探電荷： q0 是攜帶電荷足夠??；占據(jù)空間也足夠小的點電荷，放在電場中不會對原有電場有顯著的影響。,2. 將正試探電荷q0放在電場中的不同位

9、置，q0受到的電場力 F 的值和方向均不同 , 但對某一點而言 F 與 q0 之比為一不變的矢量，為描述電場的屬性引入一個物理量電場強度(簡稱為場強）：,10-2 電場和電場強度,15,3. 單位 ：在國際單位制 (SI)中,電場是一個矢量場(vector field),電荷在場中受到的力：,電場中某點的電場強度的大小，等于單位電荷在該點所受電場力的大??；電場強度的方向與正電荷在該點所受電場力的方向一致。,10-2 電場和電場強度,16,三、電場強度的計算,1.點電荷的電場強度,10-2 電場和電場強度,思考： r0;E ?,17,2.多個點電荷產(chǎn)生的電場,電場中任何一點的總場強等于各個點電荷

10、在該點各自產(chǎn)生的場強的矢量和。這就是場強疊加原理。,若空間存在n個點電荷q1 ,q2 ,qn 求它們在空間電場中任一點P 的電場強度：,ri 是點P 相對于第i 個點電荷的位置矢量。,10-2 電場和電場強度,18,3.任意帶電體產(chǎn)生的電場,將帶電體分成很多電荷元dq ,先求出它在空間任意點 P 的場強,對整個帶電體積分,可得總場強：,以下的問題是引入電荷密度的概念并選取合適的坐標，給出具體的表達式和實施計算。,10-2 電場和電場強度,19,體電荷分布的帶電體的場強,面電荷分布的帶電體的場強,線電荷分布的帶電體的場強,電荷的體密度,電荷的面密度,電荷的線密度,10-2 電場和電場強度,20,

11、10-2 電場和電場強度,有一球形氣球，電荷均勻分布在其表面上，在此氣球被吹大的過程中，球內(nèi)、球外電場強度的變化是：,思 考,雖然球內(nèi)外電場不變，但球內(nèi)空間變大，故空間電場分布還是變化的。,21,10-2 電場和電場強度,例5：有兩個點電荷，電量分別為5.0107 C和2.8108 C，相距15cm。求： (1)一個電荷在另一個電荷處產(chǎn)生的電場強度；(2)作用在每個電荷上的力。,例6：有一均勻帶電的細棒，長度為L，所帶總電量為q。求： (1)細棒延長線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且aL； (2)細棒中垂線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且aL。,22,例7：求兩個相距為l,等量異號

12、點電荷中垂線上距離點電荷連線中心任一點Q處的電場強度。,等量異號電荷 +q、-q ，相距為l (lr) ，稱該帶電體系為電偶極子,解：建立如右圖的坐標系,Q點的場強 E 的y分量為零, x 分量是 E+ 和 E- 在x方向分量的代數(shù)和:,代入上式,10-2 電場和電場強度,23,結(jié)論：電偶極子中垂線上，距離中心較遠處一點的場強，與電偶極子的電矩成正比，與該點離中心的距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。,用 表示從 到 的矢量， 定義電偶極矩為：,10-2 電場和電場強度,24,10-2 電場和電場強度,25,場強的x分量:,場強的y分量:,10-2 電場和電場強度,26,例9： 均勻帶電圓

13、環(huán)軸線上一點的場強。設(shè)圓環(huán)帶電量為q，半徑為R。,10-2 電場和電場強度,一半徑為R的半圓細環(huán)上均勻分布電荷Q，求環(huán)心處的場強。,思 考,27,例11：均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。 設(shè)圓盤帶電量為 ，半徑為 。,10-2 電場和電場強度,例10:用細的不導電的塑料線彎成半徑r50cm的圓弧，兩端間空隙為d2.0cm，電量為3.12109 C的正電荷均勻分布在線上，求圓心處場強的大小和方向。,28,（1）起于正電荷(或無限遠)，止于負電荷(或無限遠)； （2）不閉合，也不在沒有電荷的地方中斷； （3）兩條電場線在沒有電荷的地方不會相交。,一、電場線(electric line of fiel

14、d),1定義： 電場線上各點的切線方向與該點場強的方向一致； 在垂直于電場線的單位面積 上穿過的曲線條數(shù)與該處的電場強度的大小成正比。,2 性質(zhì)：,10-3 高斯定理,29,30,不導電液體，上面灑上小草籽,未接電源,兩個正點電極,正與負點電極,正點電極與負平板電,正電的圓筒電極,31,1.定義,二、電場強度通量(electric flucx),通過任一面積元的電場線的條數(shù)稱為通過這 一面積元的電場強度通量。（簡稱電通量）,10-3 高斯定理,32,如果在場強為E的勻強電場中，平面S與場強E不垂直，其法線n與場強E成 角。,如果在非勻強電場中有一任意曲面S，可以把曲面S分成許多小面元dS，dS

15、可近似地看為平面，在dS范圍內(nèi)場強E 可認為處處相同。這樣，穿過面元dS的電場線條數(shù)可以表示為,10-3 高斯定理,33,通過任一曲面S 的電通量：,通過閉合曲面S 的電通量：,10-3 高斯定理,34,2.方向的規(guī)定：,閉合曲面的外法線方向為正。 (自內(nèi)向外為正),非閉合曲面電通量的正負取決于E與n正向夾角的余玄值。,10-3 高斯定理,35,例12：一個三棱柱放在均勻電場中，E=200 N/C ,沿x方向，求通過此三棱柱體的電場強度通量。,解：三棱柱體的表面為一閉合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5 構(gòu)成，其電場強度通量為：,即：通過閉合曲面的電場強度通量為零。,10-3 高斯定理,36

16、,三、 高斯定理（Gauss theorem）,靜電場中任何意閉合曲面S 的電通量，等于該曲面所包圍的電量除以e 0 而與S以外的電荷無關(guān)。,數(shù)學表達式,10-3 高斯定理,對該式可以通過以下6種情況進行分析討論：,注意:,E是高斯面上任意一點的場強，是由空間所有的電荷（包括高斯面內(nèi)和外的電荷）共同產(chǎn)生的；而qi是面內(nèi)電荷的代數(shù)和為0時，面上的E不一定處處為0，高斯面上場強處處為0時，面內(nèi)的電荷代數(shù)和一定為0. E是空間所有電荷在面上產(chǎn)生的，如果面內(nèi)的為E/，面外的為E/，那么E、E/、 E/分別在高斯定理中占有什么地位？,37,1. 包圍點電荷q 的同心球面S 的電通量,球面上各點的場強方向

17、與其徑向相同。 球面上各點的場強大小由庫侖定律給出。,此結(jié)果與球面的半徑無關(guān)。即通過各球面的電力線總條數(shù)相等。從 q 發(fā)出的電場線連續(xù)的延伸到無窮遠,10-3 高斯定理,38,2.證明包圍點電荷q 任意閉合曲面S 的電通量,穿過球面S1和S2的電場線，必定也穿過閉合曲面S。所以穿過任意閉合曲面S的電通量必然為q / 0 ，即,10-3 高斯定理,對于包圍著一個點電荷的任意閉合曲面，高斯定理是成立的。,39,3. 任意閉合曲面S包圍多個點電荷q1,q2,qn 根據(jù)電通量的定義和電場強度的疊加原理，其電通量可以表示為,這表示，閉合曲面S 的電通量，等于各個點電荷對曲面S 的電通量的代數(shù)和?？梢婋娡?/p>

18、量也滿足疊加原理。根據(jù)以上結(jié)論，通過閉合曲面S的電通量應為,10-3 高斯定理,40,4. 任意閉合曲面S不包圍電荷，點電荷q 處于 S之外：如圖所示，由于從q 發(fā)出的電場線，凡是穿入S 面的，必定又從S面穿出，所以穿過S 面的電場線凈條數(shù)必定等于零，曲面S的電通量必定等于零。,10-3 高斯定理,41,5. 多個點電荷q1,q2,qn，其中k個被任意閉合曲面S所包圍，另外nk個處于S面之外： 根據(jù)上一條的證明，閉合曲面S外的nk個電荷對S面的電通量無貢獻，S面的電通量只決定于其內(nèi)部的k個電荷，并應表示為,10-3 高斯定理,42,6. 任意閉合曲面S包圍了一個任意的帶電體 這時可以把帶電體劃

19、分成很多很小的體元d，體元所帶的電荷dq = d可看作點電荷，與上面 第3條的結(jié)果一致，這時S的電通量可表示為,根據(jù)矢量分析，可以將式高斯定理寫成下面的微分形式,在靜電學中，常常利用高斯定理來求解電荷分布具有一定對稱性的電場問題。,10-3 高斯定理,43,例13：一無限長均勻帶電細棒，其線電荷密度為，求距細棒為a處的電場強度。P266,10-3 高斯定理,例14：求半徑為R的均勻帶電球體在球內(nèi)外各點的場強分布。設(shè)球體電荷密度為r ，總電量為Q 。P267,例15：一個半徑為R的球面均勻帶電，面電荷密度為。求球面內(nèi)、外任意一點的電場強度。,求球形電荷分布的電場？,思 考,44,10-3 高斯定

20、理,例16:設(shè)半徑為R的球體內(nèi),其電荷為對稱分布,電荷體密度為(1)=kr(0rR); (2)=0(rR),k為一常量,試用高斯定理求電場強度E與r的關(guān)系(可否用電場強度疊加原理),思 考,1.電荷Q均勻分布在半徑為R的導體球表面，求：（1）球外空間任一點(rR)的場強。,2.一個內(nèi)外半徑分別為R1和R2的均勻帶電球殼,總電荷為Q1,球殼外同心罩一個半徑為R3的均勻帶電球面,球面帶電荷為Q2,求電場分布.電場強度是否是場點與球心的距離r的連續(xù)函數(shù)?試分析.,45,10-3 高斯定理,例17：一個半徑為R的無限長圓柱體均勻帶電，體電荷密度為。求圓柱體內(nèi)、外任意一點的電場強度。,兩個截面不同的銅桿

21、串聯(lián)在一起，兩端加上電壓為U，設(shè)通過細桿和粗桿的電流、電流密度大小、桿內(nèi)的電場強度大小分別為：I1、J1、E1與I2、J2、E2，則： A. I1=I2、J1J2、E1E2 B. I1=I2、J1J2、E1E2 D. I1I2、J1J2、E1E2,思 考,46,解：由于電荷分布對于求場點 p到平面的垂線 op 是對稱的，所以 p 點的場強必然垂直于該平面。,又因電荷均勻分布在無限大的平面上， 所以電場分布對該平面對稱。即離平 面等遠處的場強大小都相等、方向都 垂直于平面，當 場強指離平面。 當 場強方向指向平面。,例18：求無限大均勻帶電平板的場強分布。,設(shè)面電荷密度為 。,10-3 高斯定理

22、,47,由于圓筒側(cè)面上各點的場強方向垂直于側(cè)面的法線方向，所以電通量為零；又兩個底面上場強相等、電通量相等，均為穿出。,選一其軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面作為高斯面 S，帶電平面平分此圓筒，場點 p 位于它的一個底面上。,10-3 高斯定理,48,場強方向指離平面;,場強方向指向平面。,10-3 高斯定理,場強方向垂直于帶電平面。,49,(C.F.Gauss , 17771855),10-3 高斯定理,50,一、靜電場屬于保守場 (conservative field),點電荷 從 P 經(jīng)任意路徑到 Q點，電場所作的功為：,在點電荷q的場中移動試探電荷q0，求電場力作的功：,電場力所做的功只

23、與始點和末點的位置有關(guān),10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,51,任何一個帶電體都可看成是由無數(shù)電荷元組成， 由場強疊加原理可得到電場強度 E=E1+E2+En， 試探電荷q0從P 移動到Q，電場力作的功為：,任何靜電場中，電荷運動時電場力所作的功只與起始和終了的位置有關(guān),而與路徑無關(guān)。 這一特性說明： 靜電場是保守場 。,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,52,在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的環(huán)路積分等于零。稱為靜電場的環(huán)路定理。,因為保守力的數(shù)學形式為,可以證明在靜電場中有,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,53,二、電勢能、電勢差和電勢 靜電場是保守場，可引入僅與位置有關(guān)的電勢能概念

24、。用WP和WQ分別表示 試探電荷q0在電場中P點和Q點的電勢能。電場力對試探電荷q0所作的功可以表示為,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,54,電場中P、Q兩點間的電勢差就是單位正電荷在這兩點的電勢能之差，等于單位正電荷從點P移到點Q電場力所作的功。電勢差也稱電壓。,由于電勢能的減小與試探電荷之比，完全由電場在P、Q兩點的狀況所決定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)稱為電場中P、Q兩點的電勢差，并用VP VQ來表示， 于是有,實際中為了確定q0在電場中一點的電勢能，必須選擇一個電勢能為零的參考點。,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,55,我們把VP 和VQ 稱為點P 和點Q 的電勢，顯然

25、它們分別等于單位正電荷在點P和點Q的電勢能。,零電勢：1、當電荷分布在有限空間時，可選擇無限遠處的電勢為零。2、在實際問題中，常選擇大地的電勢為零。3、電勢能零點的選擇與電勢零點的選擇是一致的,電場中某點P 的電勢，等于把單位正電荷從P 點經(jīng)任意路徑移動到無限遠處時，靜電場力所作的功。,電勢(electric potential )是標量，單位為伏特（V ） 也稱為焦耳/庫侖，即1V= 1 J /C,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,56,三、電勢的計算 (electric potential ) 1. 點電荷產(chǎn)生的電場中的電勢分布 可用場強分布和電勢的定義直接積分。,負點電荷周圍的場電勢為

26、負 離電荷越遠，電勢越高。,正點電荷周圍的場電勢為正 離電荷越遠，電勢越低。,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,57,2. 在多個點電荷產(chǎn)生的電場中任意一點的電勢： 空間有n個點電荷q1, q2, , qn ，求任意一點P的電勢。由于點P的電場強度E等于各個點電荷單獨在點P產(chǎn)生的電場強度的矢量之和。所以點P的電勢可以用電勢的疊加原理表示。,在多個點電荷產(chǎn)生的電場中,任一點的電勢等于各個點電荷單在該點所產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,58,可以把帶電體看為很多很小電荷元的集合體。它在空間某點產(chǎn)生的電勢，等于各個電荷元在同一點產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。,3. 在任意帶電體產(chǎn)生的

27、電場中任意一點的電勢,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,59,60,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,61,規(guī)定兩個相鄰等勢面的電勢差相等，所以等勢面較密集的地方，場強較大。等勢面較稀疏的地方，場強較小。,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,62,63,例19：將q=1.710-8c的點電荷從電場中A點移到B點，外力需作功5.010-6 J ，則： A. UBUA=-2.94102V B點電位低 B. UBUA=-2.94102V B點電位高 C. UBUA=2.94102V B點電位低 D. UBUA=2.94102V B點電位高,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,64,五、 電勢與電場強度的關(guān)系,設(shè)電荷q0在場強為E的電場中作位移dl，在dl的范圍內(nèi)電場是勻強的。若q0完成位移dl 后，電勢增高了dV，則其電勢能的增量為q0 dV， 這時電場力必定作負功，,電場強度在任意方向的分量，等于電勢沿該方向的變化率的負值。,dV = E dl cos,等號左邊Ecos 就是E在位移dl方向的分量，用El 表示；等號右邊是V沿dl方向的方向微商，負號表示E指向電勢降低的方向。于是可以寫為,10-4 電勢及其與電場強度的關(guān)系,65,電勢梯度 是一個矢量，它的方向是