1、第2講數(shù)列的求和問題,專題四數(shù)列、推理與證明,欄目索引,高考真題體驗,1,2,1.(2016課標(biāo)全國甲)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991. (1)求b1，b11，b101；,解設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28， 解得d1. 所以an的通項公式為ann. b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.,解析答案,(2)求數(shù)列bn的前1 000項和.,1,2,所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.,解析答案,1,2,2.(2016山東)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n

2、28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1. (1)求數(shù)列bn的通項公式；,解由題意知，當(dāng)n2時，anSnSn16n5， 當(dāng)n1時，a1S111，所以an6n5. 設(shè)數(shù)列bn的公差為d.,可解得b14，d3，所以bn3n1.,解析答案,1,2,又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2. 兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2,所以Tn3n2n2.,解析答案,考情考向分析,返回,高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想.,熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和,有些數(shù)列，既不

3、是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.,熱點(diǎn)分類突破,例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.,(1)求數(shù)列an的通項公式；,解當(dāng)a13時，不合題意； 當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意； 當(dāng)a110時，不合題意. 因此a12，a26，a318，所以公比q3. 故an23n1 (nN*).,解析答案,(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.,解析答案,思維升華,解因為bnan(1)n

4、ln an 23n1(1)nln(23n1) 23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， 所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3. 當(dāng)n為偶數(shù)時，,解析答案,思維升華,當(dāng)n為奇數(shù)時，,思維升華,思維升華,在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式.,跟蹤演練

5、1(2015湖南)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*. (1)證明：an23an；,證明由條件，對任意nN*，有an23SnSn13， 因而對任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3. 兩式相減，得an2an13anan1， 即an23an，n2. 又a11，a22， 所以a33S1S233a1(a1a2)33a1， 故對一切nN*，an23an.,解析答案,(2)求Sn.,解析答案,于是數(shù)列a2n1是首項a11，公比為3等比數(shù)列； 數(shù)列a2n是首項a22，公比為3的等比數(shù)列. 因此a2n13n1，a2n23n1. 于是S2na1a2a2n (a1a

6、3a2n1)(a2a4a2n) (133n1)2(133n1),解析答案,綜上所述，,熱點(diǎn)二錯位相減法求和,錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.,例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1 (n2). (1)求數(shù)列an的通項公式；,解3Sn3Sn15anan1(n2)，,解析答案,(2)若bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.,解bn(2n1)22n， Tn121320521(2n1)22n，,Tn12(2n3)22n.,解析答案,思維升華,思維升華,(1)

7、錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列； (2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù). (3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進(jìn)行驗證.,跟蹤演練2已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：4Sn(an1)(an3) (nN*). (1)求an；,解析答案,化簡得，(anan1)(anan12)0， an是正項數(shù)列，anan10， anan120，對任意n2，nN*都有anan12，,解得a13或a11(舍去)， an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列， an32(n1)2n1.,(2)若bn2n

8、an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.,解由已知及(1)知， bn(2n1)2n， Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 得，Tn3212(2223242n)(2n1)2n1,2(2n1)2n1.,解析答案,熱點(diǎn)三裂項相消法求和,(1)求數(shù)列an的通項公式；,解析答案,解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，,a12，d2，此時an22(n1)2n.,解析答案,思維升華,Tnb1b2b3bn,為滿足題意，必須使2253，,思維升華,思維升華,(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而達(dá)到在求

9、和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件. (2)常用的裂項公式,A.8 B.9 C.10 D.11,解析答案,解析設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d，,m9.,A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31,解析答案,返回,(log22log23)(log23log24)log2(n1)log2(n2),故使Sn5成立的正整數(shù)n有最小值63.,返回,1,2,高考押題精練,押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是考試大綱中明確提出的知識點(diǎn)，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設(shè)的條件上有變革，有創(chuàng)新，但

10、在變中有不變性，即解答問題的常用方法有規(guī)律可循.,1,解析,押題依據(jù),答案,1,2,1,2,押題依據(jù),2.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sna(Snan1)(a為常數(shù)，且a0)，且4a3是a1與2a2的等差中項. (1)求an的通項公式；,押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，本題先利用an，Sn的關(guān)系求an，也是高考出題的常見形式.,返回,解析答案,1,2,解(1)當(dāng)n1時，S1a(S1a11)，所以a1a， 當(dāng)n2時，Sna(Snan1)， Sn1a(Sn1an11)，,故an是首項a1a，公比為a的等比數(shù)列， 所以anaan1an. 故a2a2，a3a3. 由4a3是a1與2a2的等差中項，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，,解析答案,1,2,因為a0，整