1、第5章 不定積分,5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 一、原函數(shù)與不定積分 通過對求導(dǎo)和微分的學(xué)習(xí)，我們可以從一個函數(shù) yf(x)出發(fā)，去求它的導(dǎo)數(shù)f(x) 那么，我們能不能從一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)出發(fā)， 反過來去求它是哪一個函數(shù)(原函數(shù))的導(dǎo)數(shù)呢? 定義 已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點x處都有F(x)f(x)，那么稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。,1,學(xué)習(xí)交流PPT,例1 求下列函數(shù)的一個原函數(shù)： f(x)2x f(x)cosx 解：(x2)2x x2是函數(shù)2x的一個原函數(shù) (sinx)cosx sinx是函數(shù)cosx的

2、一個原函數(shù) 這里為什么要強調(diào)是一個原函數(shù)呢?因為一個函數(shù) 的原函數(shù)不是唯一的。 例如在上面的中，還有(x21)2x， (x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C (C為任意常數(shù)) 都是函數(shù)f(x)2x的原函數(shù)。,2,學(xué)習(xí)交流PPT,定理5.1 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)， C是一個任意常數(shù)，那么， F(x)C也是f(x) 在該區(qū)間I上的原函數(shù) f(x)該在區(qū)間I上的全體原函數(shù)可以表示 為F(x)C 證明： F(X)CF(x)(C)f(x) F(x)C也是f(x)的原函數(shù) 略,3,學(xué)習(xí)交流PPT,這說明函數(shù)f(x)如果有一個原函數(shù)F(x)，那么它 就有無窮多個原函數(shù)，

3、它們都可以表示為F(x)C的 形式。 定義5.2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作f(x)dx， 其中叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積 分變量。 求函數(shù)f(x)的不定積分就是求它的全體原函數(shù)， 因此，f(x)dxF(x)C 其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。,4,學(xué)習(xí)交流PPT,例2 求下列不定積分 x5dx sinxdx 解： 是x5的一個原函數(shù) cosx是sinx的一個原函數(shù) ,5,學(xué)習(xí)交流PPT,二、 不定積分的幾何意義 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，則曲線yF(x) 稱為f(x)的一條積分曲線，曲線yF(x)C表示把曲 線yF(x)上下平移所得

4、到的曲線族。因此，不定積分 的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲 線族。 例4 求斜率為2x且經(jīng)過點(1,0)的曲線。 解：設(shè)所求曲線為yf(x)，則f(x)2x， 故yx2C， 曲線過點(1,0)以x1、y0代入得012C， 解得C1， 因此，所求曲線為yx21。,6,學(xué)習(xí)交流PPT,三、 基本積分公式 由于積分運算是求導(dǎo)運算的逆運算，所以由基本 求導(dǎo)公式反推，可得基本積分公式 dxxC xdx (-1) exdxexC sinxdxcosxC cosxdxsinxC sec2xdxtanxC csc2xdxcotxC ,7,學(xué)習(xí)交流PPT,說明：冪函數(shù)的積分結(jié)果可以這樣求，先

5、將被積函數(shù) 的指數(shù)加1，再把指數(shù)的倒數(shù)放在前面做系數(shù)。 注意 不能認(rèn)為 arcsinxarccosx，他們之間 的關(guān)系是 arcsinx2arccosx,8,學(xué)習(xí)交流PPT,四、 不定積分的性質(zhì) f(x)dxf(x) 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)f(x)先求不定積分再求導(dǎo)， 所得結(jié)果仍為f(x) F(x)dxF(x)C 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)F(x)先求導(dǎo)再求不定積分， 所得結(jié)果與F(x)相差一個常數(shù)C kf(x)dxkf(x)dx (k為常數(shù)) 該性質(zhì)表明，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以 提到積分號的前面 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 該性質(zhì)表明，兩個函數(shù)的和或差的不定積分等于 這兩個

6、函數(shù)的不定積分的和或差,9,學(xué)習(xí)交流PPT,五、 基本積分公式的應(yīng)用 例7 求(9x28x)dx 解：(9x28x)dx9x2dx8xdx 33x2dx42xdx3x34x2C 例11 求3xexdx,10,學(xué)習(xí)交流PPT,5.2 不定積分的計算 一、 直接積分法 對被積函數(shù)進(jìn)行簡單的恒等變形后直接用 不定積分的性質(zhì)和基本積分公式即可求出不定 積分的方法稱為直接積分法。 運用直接積分法可以求出一些簡單函數(shù)的 不定積分。,11,學(xué)習(xí)交流PPT,12,學(xué)習(xí)交流PPT,一、第一換元法(湊微分法) 如果被積函數(shù)的自變量與積分變量不相同， 就不能用直接積分法。 例如求cos2xdx，被積函數(shù)的自變量是2

7、x， 積分變量是x。 這時，我們可以設(shè)被積函數(shù)的自變量為u， 如果能從被積式中分離出一個因子u(x)來， 那么根據(jù)f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C 就可以求出不定積分。 這種積分方法叫做湊微分法。,13,學(xué)習(xí)交流PPT,講解例題 例2 求2sin2xdx 解：設(shè)u2x，則du2dx 2sin2xdxsin2x2dxsinudu cosuCcos2xC 注意：最后結(jié)果中不能有u，一定要還原成x。 解：設(shè)ux21，則du2xdx,14,學(xué)習(xí)交流PPT,解：設(shè)ux2，則du2xdx 設(shè)ucosx，則du-sinxdx,15,學(xué)習(xí)交流PPT,當(dāng)計算熟練后，換元的過程可以省去不寫。 例 求si

8、n3xcosxdx 解：sin3xcosxdxsin3xd(sinx) sin4xC,16,學(xué)習(xí)交流PPT,二、第二換元積分法 例如，求 ，把其中最難處理的部分換 元，令 則原式 ，再反解xu21， 得dx2udu，代入 這就是第二換元積分法。,17,學(xué)習(xí)交流PPT,(1)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xasint換元。 (2)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xatant換元。,18,學(xué)習(xí)交流PPT,(3)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xasect換元。,19,學(xué)習(xí)交流PPT,以下結(jié)果可以作為公式使用： tanxdxln|secx|C cotdxln|cscx|C secxdxln|secxtanx|C c

9、scxdxln|cscxcotx|C ,20,學(xué)習(xí)交流PPT,5.3 分部積分法 一、分部積分公式 考察函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 兩邊積分得 u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx 于是有 u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx 或表示成 u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 這一公式稱為分部積分公式。,21,學(xué)習(xí)交流PPT,二、講解例題 例1 求xexdx 解:令 u(x)x，v(x)ex 則原式為u(x)v(x)dx的形式 (ex)ex v(x)ex， 由分部積分公式有 xexdxxexexd

10、xxexexC 例2 求xcos2xdx 解：令 u(x)x，v(x)cos2x，則v(x) sin2x 于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsin2x cos2xC,22,學(xué)習(xí)交流PPT,有時，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使 用幾次分部積分公式才可以求出結(jié)果。 例5：求x2e-2xdx 解：令u(x)x2，v(x)e-2x，則v(x) 于是,23,學(xué)習(xí)交流PPT,由此可見：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)的 次數(shù)可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分 部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。 為了簡化運算過程，下面介紹: 三、分部積分法的列表解法 例如：求 x

11、2sinxdx x2 sinx 求導(dǎo) + 積分 2x - -cosx,x2sinxdx -x2cosx-2x(-cosx)dx,24,學(xué)習(xí)交流PPT,分部積分法的列表解法 例如：求 x2sinxdx x2 sinx,求導(dǎo),積分,2x,-cosx,x2sinxdx -x2cosx2xcosxdx,-x2cosx2xsinx -2sinxdx,求導(dǎo) ,積分 -sinx,-x2cosx2xsinx 2cosxC,求導(dǎo) ,積分 +cosx, ,25,學(xué)習(xí)交流PPT,例4：求xlnxdx x lnx 求導(dǎo) 積分 1 ? 這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。 把lnx放在左邊用分部積分法解： ln

12、x x 求導(dǎo) + 積分 -,26,學(xué)習(xí)交流PPT,一般原則 對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應(yīng)放在左邊， 指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)放在右邊。 有些單獨一個函數(shù)的不定積分也要用分部 積分法解。 例3：求lnxdx lnx 1 求導(dǎo) + 積分 - x,= xlnxdx = xlnxxC,27,學(xué)習(xí)交流PPT,例6求arcsinxdx arcsinx 1 求導(dǎo) + 積分 - x 例7 1 求導(dǎo) 積分 x,28,學(xué)習(xí)交流PPT,例8 求exsin3xdx 解：exsin3xdxexsin3x3excos3xdx exsin3x3excos3x9exsin3xdx 移項得 exsin3xdx ex(si3nx3

13、cos3x)C 5.4 有理函數(shù)積分法 一、有理函數(shù)的定義 有理函數(shù)是指分子、分母都是多項式的分 式函數(shù)，形如,29,學(xué)習(xí)交流PPT,二、真分式的部分分式分解 設(shè)分子的次數(shù)為n，分母的次數(shù)為m。 當(dāng)nm時，該分式稱為真分式； 當(dāng)nm時，該分式稱為假分式。 假分式可以寫成多項式與真分式的和。 這里主要講解真分式的部分分式分解。 例分解 成部分分式 解：因為分母含有(x1)的三重因式，所以設(shè),30,學(xué)習(xí)交流PPT,等式右邊通分后得 比較等式兩邊分子各項的系數(shù)得 1解得：1 3202 30 1 1 2 這種方法稱為待定系數(shù)法,31,學(xué)習(xí)交流PPT,幾種簡單分式的積分法 一、,32,學(xué)習(xí)交流PPT,二、 1.當(dāng)分子不含一次項時 因為分母中p2-4q0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2， 再進(jìn)一步，還可以化成,33,學(xué)習(xí)交流PPT,34,學(xué)習(xí)交流PPT,2.當(dāng)分子含有一次項時，可將分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)與另一常數(shù)之和再分別積分。,35,學(xué)習(xí)交流PPT,三、分母可以因式分解的有理函數(shù) 1.若被積函數(shù)是假分式，先把它分解成一個多項式與一個真分式之和, 2. 對于真分