1、不定積分,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,F (x) 為 f (x) 的一個(gè)原函數(shù).,。,（內(nèi)容提要）,1,學(xué)習(xí)交流PPT,二、 基本積分公式,。,2,學(xué)習(xí)交流PPT,。,3,學(xué)習(xí)交流PPT,。,4,學(xué)習(xí)交流PPT,三、 常見(jiàn)湊微分,。,5,學(xué)習(xí)交流PPT,一般地：,。,6,學(xué)習(xí)交流PPT,四、第二類換元法,令,1. 被積函數(shù)含,令,。,7,學(xué)習(xí)交流PPT,2. 被積函數(shù)含,令,令,令,先配方，再作適當(dāng)變換,(有時(shí)用倒代換,簡(jiǎn)單）。,8,學(xué)習(xí)交流PPT,五、有理函數(shù)真分式的積分:,分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解,若分母含因式,若分母含既約因式,，則對(duì)應(yīng)的部分因式為,，則對(duì)應(yīng)的部分因式為,。,9,學(xué)習(xí)交

2、流PPT,六. 分部積分公式,注：下列題型用分部積分法,；,；,；,；,；,；,。,10,學(xué)習(xí)交流PPT,不定積分,（典型例題）,11,學(xué)習(xí)交流PPT,例1,，求,解：,一、由 求,12,學(xué)習(xí)交流PPT,例2,在,上定義，在,內(nèi)可導(dǎo)，,在,內(nèi)定義且可導(dǎo)，,時(shí)，,求,，,的表達(dá)式.,解:,時(shí)，,時(shí)，,13,學(xué)習(xí)交流PPT,例2,在,上定義，在,內(nèi)可導(dǎo)，,在,內(nèi)定義且可導(dǎo)，,時(shí)，,求,，,的表達(dá)式。,答案：,14,學(xué)習(xí)交流PPT,例3,分段函數(shù)不定積分的求法：,(1) 各段分別積分，常數(shù)用不同 C1， C2 等表示；,(2) 根據(jù)原函數(shù)應(yīng)該在分段點(diǎn)連續(xù)確定 C1、 C2,的關(guān)系，用同一個(gè)常數(shù) C

3、表示。,二、分段函數(shù)求不定積分：,15,學(xué)習(xí)交流PPT,例3,解:,16,學(xué)習(xí)交流PPT,在,連續(xù)，,在,連續(xù)，,17,學(xué)習(xí)交流PPT,自學(xué),解,由 處連續(xù)，得：,18,學(xué)習(xí)交流PPT,例4,定義在 R 上，,求,。,在,連續(xù),解：,19,學(xué)習(xí)交流PPT,三、有理函數(shù)的積分：,例5,的結(jié)果中，,求常數(shù)a，b 的值，使,不含反正切函數(shù)；,不含對(duì)數(shù)函數(shù)；,僅含有理函數(shù)。,20,學(xué)習(xí)交流PPT,例5,求 a, b , 使,不含反正切函數(shù)；,不含反正切函數(shù),解：,21,學(xué)習(xí)交流PPT,例5,求 a, b , 使,不含反正切函數(shù)；,不含反正切函數(shù),b 任意,22,學(xué)習(xí)交流PPT,例5,的結(jié)果中，,求常數(shù)

4、a，b 的值，使,不含反正切函數(shù)；,不含對(duì)數(shù)函數(shù)；,僅含有理函數(shù)。,不含對(duì)數(shù)函數(shù)；,僅含有理函數(shù),解：,23,學(xué)習(xí)交流PPT,四、湊微分法：,例6,求,原式=,解：,24,學(xué)習(xí)交流PPT,時(shí)，,原式=,時(shí)，,原式=,25,學(xué)習(xí)交流PPT,例7,解,求,26,學(xué)習(xí)交流PPT,例8,求,解：,27,學(xué)習(xí)交流PPT,例9,求,解1,28,學(xué)習(xí)交流PPT,例9,求,解2,煩！,29,學(xué)習(xí)交流PPT,例10（自學(xué)）,解,30,學(xué)習(xí)交流PPT,五、,分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）,例11,原式=,解：,31,學(xué)習(xí)交流PPT,例12,原式=,解：,32,學(xué)習(xí)交流PPT,例13,，求,解：,33,

5、學(xué)習(xí)交流PPT,例14,遞推公式,解：,34,學(xué)習(xí)交流PPT,六：三角代換,例15,原式,解：,35,學(xué)習(xí)交流PPT,例16,原式,解：,36,學(xué)習(xí)交流PPT,七、倒代換：,例17,分母含x的因子， 分母x的最高次冪m與分子x的最高次冪n滿足：,原式,解：,37,學(xué)習(xí)交流PPT,例18,原式,解：,38,學(xué)習(xí)交流PPT,八、,型（m，n為正負(fù)整數(shù)）,化為,m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：,m，n均為偶數(shù)：,降次,m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：,化為,或,或,39,學(xué)習(xí)交流PPT,化為,m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：,或,例19,答案：,解：,40,學(xué)習(xí)交流PPT,m，n均為偶數(shù)：,降次,例20,原式,積化和差公式

6、：,解：,41,學(xué)習(xí)交流PPT,m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：,化為,或,例21,解：,42,學(xué)習(xí)交流PPT,九、,型（a，b，p，q為常數(shù)）,解題方法：,求待定常數(shù)A，B，使,分母,分母,43,學(xué)習(xí)交流PPT,例22,原式=,解：,44,學(xué)習(xí)交流PPT,例23,（課外練習(xí)）,45,學(xué)習(xí)交流PPT,十、兩項(xiàng)都難積分,例24,一項(xiàng)用分部積分，產(chǎn)生另一項(xiàng)的相反項(xiàng),解：,46,學(xué)習(xí)交流PPT,例25,解：,47,學(xué)習(xí)交流PPT,例26,解：,48,學(xué)習(xí)交流PPT,十一、,含抽象函數(shù)的積分,例27,設(shè),的原函數(shù)是,，求,或,解：,49,學(xué)習(xí)交流PPT,例28,求,原式=,解：,50,學(xué)習(xí)交流PPT,例28,求,原式=,另解,51,學(xué)習(xí)交流PPT,化為參數(shù)方程,十二、,