1、第二節(jié)：直線、平面平行的判定及其性質,第二章： 點、直線、平面之間的位置關系,例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。,分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。,略解：,變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=。 變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=。,關鍵：,找正方體的棱長a與球半徑R之間的關系,知識點一、直線與平面平行的判定,a,b,復習引入,直線與平面有什么樣的位置關系？,(1)直線在平面內有無數(shù)個公共點；,(2)直線與平面相交有且只有一

2、個 公共點；,(3)直線與平面平行沒有公共點.,a,a,a,A,問題1、觀察開門與關門， 門的兩邊是什么位置關系當門繞著一邊轉動時，此時門轉動的一邊與門框所在的平面是什么位置關系？,感知定理,觀察,問題2、請同學門將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，觀察封面邊緣所在直線l與桌面所在的平面具有怎樣的位置關系？桌面內有與l 平行的直線嗎？,動手體驗,問題 3、根據(jù)以上實例總結在什么條件下一條直線和一個平面平行？,探究 歸納,如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行,符號表示：,平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.,直線與平面平行的判定定理

3、：,a,b,線線平行線面平行,將線面平行轉化為線線平行,解讀定理,將空間問題轉化為平面問題,三個條件不能少,例1、,如圖, 長方體 的 六個面中，,(1)與AB平行的平面 是_;,(2)與 平行的平面 是_;,(3)與AD平行的平面 是_.,C,B,A,D,分析:,OF是ABE的中位線， 所以得到AB/OF.,A,B,C,D,F,O,E,連結OF，,例2. 如圖，四棱錐ADBCE中，O為底面正方形DBCE對角線的交點，F(xiàn)為AE的中點.判斷 AB與平面DCF的位置關系， 并說明理由. .,例3. 如圖，空間四邊形ABCD中，E、F 分別是AB，AD的中點. 求證：EF平面BCD.,分析：要證明線

4、面平行 只需證明線線平行，即 在平面BCD內找一條直 線平行于EF，由已知的 條件怎樣找這條直線？,A,B,C,D,E,F,證明：,EF BD.,EF 平面BCD.,EF 平面BCD，,連接BD，,已知：空間四邊形ABCD中， E、F分別是 AB、AD的中點. 求證：EF/平面BCD.,A,B,C,D,E,F,注意：證線面平行三個條件缺一不可.,證明步驟： 第一步：證線線平行；第二步：證線面平行,_.,如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F 分別為AB、AD上的點，若 ， 則EF與平面BCD的位置關系是,EF/平面BCD,A,B,C,D,E,F,變式探究,平行線的判定定理,分析：要證BD1/ 平

5、面AEC，即要在平 面AEC內找一條直線 與BD1平行.根據(jù)已知 條件應該怎樣考慮輔 助線?,例. 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E 為DD1的中點，求證:BD1/平面AEC.,E,D1,C1,B1,A1,D,C,B,A,O,有中點再找中點得中位線,如圖:ABCD為平行四邊形，M,N分別是AB,PC的中點,求證MN/面PAD,H,分析：關鍵在平面PAD內找MN平行線，有中點再中點找中點，中點和中點相連得中位線，從而得到平行線。,變式探究,1.要證明直線與平面平行可以運用線面平行的判定定理；,2.能夠運用定理的條件要滿足三個條件：,3.運用定理的關鍵找平行線；找平行線又經常會用到三角

6、形中位線、梯形的中位線、平行四邊形、平行線的判定定理,平行公理.(一般題中有中點再找中點,有分點再找分點得平行關系.),“一線面內、一線面外、 兩線平行”,規(guī)律總結,4數(shù)學思想方法：,轉化化歸的思想方法：,將線面平行轉化為線線平行,將空間問題轉化為平面問題,C1,A,C,B1,B,M,N,A1,如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，M、 N分別是BC和A1B1的中點，求證:MN平面AA1C1C,F,證明：設A1C1中點為F,連結NF，F(xiàn)C,N為A1B1中點，,M是BC的中點，,NFCM為平行四邊形,故MNCF,例：, MN平面AA1C1C,大圖,例 ：在長方體ABCDA1B1C1D1中. （1）作

7、出過直線AC且與直線 BD1平行的截面，并說明理由. （2）設E，F(xiàn)分別是A1B和 B1C的中點，求證： 直線EF/平面ABCD.,如圖所示,正方體ABCDA1B1 C1D1中，側面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF平面ABCD. 分析：根據(jù)直線與平面平行的判定定理或平面與平面平行的性質定理來證明.,證明 分別過E，F(xiàn)作EMAB于M， FNBC于N，連接MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC， EMBB1，F(xiàn)NBB1， EMFN. 又B1E=C1F，EM=FN， 故四邊形MNFE是平行四邊形， EFMN. 又MN 平面ABCD EF平面ABCD，

8、 所以EF平面ABCD.,例： 如圖所示，已知S是正三角 形ABC所在平面外的一點，且SA=SB= SC，SG為SAB上的高，D、E、F分 別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG 與平面DEF的位置關系，并給予證明. 解 SG平面DEF，證明如下： 連接CG交DE于點H，連接FH， 如圖所示. DE是ABC的中位線， DEAB. 在ACG中，D是AC的中點， 且DHAG.,H為CG的中點. FH是SCG的中位線， FHSG. 又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF， SG平面DEF. 方法二 EF為SBC的中位線， EFSB. EF平面SAB，SB平面SAB， EF平面SAB. 同理可證，DF平面S

9、AB，EFDF=F， 平面SAB平面DEF，又SG平面SAB， SG平面DEF.,23,知識點二：直線與平面平行的性質,24,一條直線和一個平面有三種位置關系： （1）直線在平面內有無數(shù)個公共點。 （2）直線與平面相交有且只有一個公共點。 （3）直線與平面平行沒有公共點。,線面平行的判定定理: 如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線 平行，那么這條直線與這個平面平行。,簡記：線線平行線面平行。,思考：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這平面內的所有直線都平行？,由直線與平面平行可知，這條直線與這個平面內的任意一條直線都沒有公共點，所以它們只能平行或異面。,26,請觀察長方體中A1B1

10、 、 AB和平面ABB1A1 、平面ABCD的位置關系，你能從中得到什么啟發(fā)？,觀察思考,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,27,b,a,證明：,28,直線和平面平行的性質定理,如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。,b,a,注意：,1、定理三個條件缺一不可。,2、簡記:線面平行線線平行。,29,例、設平面、兩兩相交，且 ，若 ，求證：,轉化思想：線線平行線面平行線線平行,證明：,30,2. 線線平行,線面平行,1.直線與平面平行的性質定理,總結：,31,例：,32,(1),(2),證明：,33,證明思路是：,線/線,線/面,線/線,線/面

11、,(1),(2),線/面,34,例：,分析,證法1,證法2,35,證法2,利用相似三角形對應邊成比例 及平行線分線段成比例的性質,（略寫）,證法1,36,我們今天有哪些收獲？還有什么疑惑？,2、直線和平面平行的性質定理,3、直線和平面平行的判定定理和性質定理可以進行“線線平行”和“線面平行”的相互轉化，實現(xiàn)空間問題平面化,小結：,1、直線和平面平行的判定定理,37,38,A,3、,39,D,4、,例： 兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，MAC，NFB，且AMFN，求證：MN平面BCE.,思路點撥,方法一：過M作MPBC， 過N作NQBE，P、Q為垂足(如圖1)， 連結PQ

12、. MPAB，NQAB， MPNQ. 又NQ BN CMMP， 四邊形MPQN是平行四邊形. MNPQ.又PQ平面BCE，而MN平面BCE， MN平面BCE.,方法二：過M作MGBC，交AB于G(如圖2)，連結NG. MGBC，BC平面BCE， MG平面BCE， MG平面BCE. 又AMFN，ACBF， ， GNAFBE，同樣可證明GN平面BCE. MGNGG， 平面MNG平面BCE.又MN平面MNG， MN平面BCE.,如圖，正方體ABCD A1B1C1D1中，側面對角 線AB1，BC1上分別有兩 點M，N.且B1MC1N.求證MN平面ABCD.,證明：方法一：分別過M、N作MM AB于M，

13、NNBC于N， 連結MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC. MMBB1，NNBB1. MMNN，又B1MC1N， MMNN.,故四邊形MMNN是平行四邊形， MNMN， 又MN平面ABCD，MN平面ABCD， MN平面ABCD.,方法二：過M作MGAB交BB1于G，連接GN，則 ， B1MC1N，B1AC1B， ，NGB1C1BC. 又MGNGG，ABBCB， 平面MNG平面ABCD， 又MN平面MNG，MN平面ABCD.,（1）平行,（2）相交,復習回顧：,平面與平面有幾種位置關系？分別是什么？,知識點三：平面與平面平行的判定,認識1如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的所有

14、直線一定都和另一個平面平行 認識2如果一個平面內的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行,對面面平行的認識,（1）中的平面，不一定平行。如圖，借助長方體模型，平面ABCD中直線AD平行平面BCCB，但平面ABCD與平面BCCB不平行。,探究：,探究：,如果平面內的兩條直線是相交的直線，兩個平面會不會一定平行？,如果平面內的兩條直線是平行直線，平面與平面不一定平行。如圖，ADPQ，AD平面BCCB，PQBCCB，但平面ABCD與平面BCCB不平行。,平面與平面平行的判定定理：,一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.,簡述為：線面平行面面平行, /,線不在多，重在相交

15、,直線的條數(shù)不是關鍵,直線相交才是關鍵,判定定理剖析：,判定定理:一個平面內兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.,直線,符號語言：,證題思路：要證明兩平面平行，關鍵是在其中一個平面內找出兩條相交直線分別平行于另一個平面.,練習：判斷下列命題正確與否。,1）如果一個平面內的一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行,2）如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行,3）如果一個平面內的無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行,4）如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行,（5）若平面 內的兩條直線分別與平面 平行，則 與 平行；

16、 （6）若平面 內有無數(shù)條直線分別與平面 平行，則 與 平行； （7）平行于同一直線的兩個平面平行； （8）兩個平面分別經過兩條平行直線，這兩個平面平 行； （9）過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平 行的平面,（10）與同一條直線所成角相等兩個平面平行.,（11）垂直于同一條直線的兩個平面平行.,（12）平行于同一平面的兩個平面平行.,例：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1的中點。 求證：面EFG/平面BDD1B1.,G,分析：由FGB1D1 易得FG平面BDD1B1 同理GE 平面BDD1B1 FGGEG 故得面EFG/平面BDD1B1,證題思路：

17、要證明兩平面平行，關鍵是在其中一個平面內找出兩條相交直線分別平行于另一個平面.,例、已知正方體ABCD-A1B1C1D1， 求證：平面AB1D1平面C1BD.,分析：在四邊形ABC1D1中， ABC1D1且ABC1D1 故四邊形ABC1D1為平行四邊形. 即AD1BC1,思路：只要證明一個平面內有兩條相交的直線與另一個平面平行,證明： ABCD-A1B1C1D1是正方體, D1C1/A1B1，D1C1=A1B1, AB/A1B1，AB=A1B1, D1C1/AB，D1C1=AB, 四邊形D1C1BA為平行四邊形, D1A/C1B, 又D1A 平面C1BD， C1B 平面C1BD， D1A/平面

18、C1BD,同理D1B1/平面C1BD, 又D1A D1B1=D1, D1A 平面AB1D1 , D1B1 平面AB1D1, 平面AB1D1/平面C1BD.,第一步：在一個平面內找出兩條相交直線；,第二步：證明兩條相交直線分別平行于另一個平面。,第三步：利用判定定理得出結論。,證明兩個平面平行的一般步驟：,例：,3分別在兩個平行平面內的兩條直線都平行 4如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 5如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行,例:在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點

19、，求證：平面AMN/平面EFDB。,A,B,C,A1,B1,C1,D1,D,M,N,E,F,線面平行 面面平行,線線平行,例：,推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行.,證明面面平行的方法有： 1面面平行的定義； 2面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行； 3利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； 4兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行； 5利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化,1、如圖：三棱錐P-ABC, D,E,F分別是棱PA，PB，PC中點， 求證：平面DEF平面A

20、BC。,P,D,E,F,A,B,C,2、如圖，B為ACD所在平面外一點，M，N，G分別為ABC，ABD， BCD的重心，求證：平面MNG平面ACD。,B,A,C,D,N,M,G,N,M,F,E,D,C,B,A,H,例： 如圖所示，平面ABCD平面EFCD = CD， M、N、H 分別是 DC、CF、CB 的中點， 求證 平面 MNH / 平面 DBF,例. 正方體 ABCD - A1B1C1D1 中, 求證:平面AB1D1/平面C1BD,例：已知: 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, E、F分別是CC1、AA1的中點，求證: 平面BDE/平面B1D1F,A,D1,D,C,B,A1,B1,C

21、1,E,F,G,如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中 (1)求證：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分別是AA1、CC1的中點， 求證：平面EB1D1平面FBD. 思維點撥：(1)證BD平面B1D1C，A1D平面B1D1C； (2)證BD平面EB1D1，DF平面EB1D1.,【例】,證明：(1)由B1B綊DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形， B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C. 而A1DBDD，平面A1BD平面B1D1C.,(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1. 取BB1中點G，得AE綊B1G，

22、從而B1EAG. 又GF綊AD，AGDF. B1EDF，DF平面EB1D1. 又BDDFD， 平面EB1D1平面FBD.,如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一點， 且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中點 求證：平面A1BD1平面AC1D.,變式3：,證明：如圖所示，連結A1C交AC1于E. 四邊形A1ACC1是平行四邊形， E是A1C的中點，連結ED. A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1D=ED， A1BED. E是A1C的中點， D是BC的中點 D1是B1C1的中點， BD1C1D，A1D1AD， 又A1D1BD1=D1， 平面A1BD1平面AC1D.,當AB與CD

23、異面時，設平面ACD=DH，且DH=AC. ，平面ACDH=AC，ACDH， 四邊形ACDH是平行四邊形， 在AH上取一點G，使AGGH=CFFD， 又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH， 又EGGF=G，平面EFG平面. EF平面EFG，EF.綜上，EF.,(2)解：如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF. E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點， MEBD，MFAC， 且ME= BD=3，MF= AC=2，EMF為AC與BD所成的角(或其補角)， EMF=60或120，在EFM中由余弦定理得，,【方法規(guī)律】 1直線和平面平行時，注意把直線和平面的位置關系轉化為直線和直線的位置關系，直

24、線和平面平行的性質在應用時，要特別注意“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面的一切直線”的錯誤結論 2以求角為背景考查兩個平行平面間的性質，也可以是已知角利用轉化和降維的思想方法求解其他幾何參量,3線面平行和面面平行的判定和性質： 4要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題對此需強調兩點：第一， 輔助線、輔助面不能隨意作，要有理論根據(jù)；第二，輔助線或輔助面有 什么性質，一定要以某一性質定理為依據(jù)，決不能憑主觀臆斷，否則謬誤難免.,【高考真題】 (2009福建卷)設m，n是平面內的兩條不同直線；l1，l2是平面內的 兩條相交直線，則的一個充分而不必要條件是() Am且l1Bml1且nl2 Cm

25、且n Dm且nl2,【規(guī)范解答】 解析：選項A作條件，由于這時兩個平面中各有一條直線與另一個平面平行，不能得到，但卻能得到選項A，故選項A是必要而不充分條件；選項B作條件，此時m，n一定是平面內的兩條相交直線(否則，則推出直線l1l2，與已知矛盾)，這就符合兩個平面平行的判定定理的推論“一個平面內如果有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行”，故條件是充分的，但是在時，由于直線m，n在平面內的位置不同，只能得到m，n與平面平行，得不到ml1，nl2的結論，故條件是不必要的，故選項B中的條件是充分而不必要的；,選項C作條件，由于m，n只是平面內的兩條不同直線，這兩條直

26、線可能相互平行，故得不到的必然結論，這個條件是不充分的，但卻能得到選項C，故選項C是必要而不充分條件；選項D作條件，由nl2可得n，平面內的直線m，n分別與平面平行，由于m，n可能平行，得不到的必然結論，故這個條件是不充分的，當時，只能得到m但得不到nl2，故條件也不是必要的，故選項D中的條件是既不充分也不必要的 答案：B,本題是教材上兩個平面平行的判定定理的推論，隱含了一個必然關系“m，n為相交直線”而設計出來的，目的是考查考生對兩個平面平行關系及充分必要關系的掌握,【探究與研究】,解本題很容易出現(xiàn)把充分而不必要條件判斷為必要而不充分條件的錯誤，問題的根源是作為選擇題，在題目的敘述上和一般問

27、題中的敘述正好相反在一般問題的敘述中往往是給出條件P，Q后，設問P是Q的什么條件，其解決方法是看PQ、QP能不能成立，確定問題的答案，但在選擇題中卻把“P是Q的什么條件”中的條件P放到了選項中，而把Q放在了題干中，這就容易使考生誤以為“Q是P的什么條件”，導致錯解題目考生在解決充要條件的問題時一定要注意題目中所說的什么是P，什么是Q.,解決這類空間線面位置關系的判斷題，要善于利用常見的立體幾何模型(如長方體模型，空間四邊形模型)作為選擇題要善于排除最不可能的選項，如選項A、C，通過簡單的回顧兩個平面平行的判定定理，首先就可以排除，選項D和選項C基本一致，也可以排除，就剩下了選項B.解答選擇題要

28、學會排除法.,(2009山東卷)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯 形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E、E1、F分別為棱AD、AA1、 AB的中點，求證：直線EE1平面FCC1. 思維點撥：在平面FCC1中找一條線平行于EE1或證平面ADD1A1平面FCC1均可.,【例】,證明：證法一：取A1B1的中點為F1，連結FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連結A1D，F(xiàn)1C，由于A1F1 D1C1 CD，所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C，而E

29、E1平面FCC1，F(xiàn)1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.,證法二：因為F為AB的中點，CD=2，AB=4，ABCD， 所以CD AF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以ADFC.又CC1DD1，F(xiàn)CCC1=C，F(xiàn)C平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.,如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中 點， 求證：B1O平面A1C1D.,變式1：,證明：分別連結BD和B1D1，則OBD且A1C1B1D1O1. BB1綊DD1，BB1D1D是平行四邊形 BD綊B1D1，OD綊O1B1. 連結

30、O1D，則四邊形B1ODO1是平行四邊形， B1ODO1. DO1平面A1C1D，B1O平面A1C1D， 且B1ODO1，B1O平面A1C1D.,已知ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點， 在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：APGH. 思維點撥：先將三角形中位線的線線平行關系轉化為線面平行， 然后由線面平行轉化為所要證明的線線平行,【例】,證明：如圖所示，連結AC，交BD于O，連結MO， 由ABCD是平行四邊形得O是AC的中點又M是PC的中點， 知APOM，AP平面BMD，DM平面BMD，故PA平面BMD. 由平面PAHG平面BMDGH，知P

31、AGH.,如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中 (1)求證：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分別是AA1、CC1的中點， 求證：平面EB1D1平面FBD. 思維點撥：(1)證BD平面B1D1C，A1D平面B1D1C； (2)證BD平面EB1D1，DF平面EB1D1.,【例】,證明：(1)由B1B綊DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形， B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C. 而A1DBDD，平面A1BD平面B1D1C.,(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1. 取BB1中點G，得AE綊B1G，從而B1EAG. 又GF綊AD，AGDF. B1EDF，DF平面EB1D1. 又BDDFD， 平面EB1D1平面FBD.,如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一點， 且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中點 求證：平面A1BD1平面AC1D.,變式3：,證明：如圖所示，連結A1C交AC1于E. 四邊形A1ACC1是平行四邊形， E是A1C的中點，連結ED. A1B平面AC1D，平面A1BC