1、,第五章 平面體的投影,5.1 平面體的投影及其表面上取點(diǎn),5.2 平面與平面立體截交,5.4 兩平面體相貫,5.5 同坡屋面交線,5.3 直線與平面立體相貫,多個(gè)平面立體和曲面立體的組合,基本體的形成及其投影,常見(jiàn)的基本幾何體,平面基本體 （其表面皆為平面組成的）,曲面基本體 （其表面是曲面或曲面和平面組成的）,5.1.1 平面立體的三面投影,一. 棱 柱,二. 棱 錐(棱臺(tái)),平面立體的各表面均為平面多邊形，它們都是由直線段（棱線）圍成，而每一棱線都是由其兩端點(diǎn)（頂點(diǎn)）所確定，因此，繪制平面立體的投影，實(shí)質(zhì)上就是繪制平面立體各多邊形表面，也即繪制其各棱線、各頂點(diǎn)的投影。在平面立體的投影圖中

2、，可見(jiàn)棱線用實(shí)線表示，不可見(jiàn)棱線用虛線表示，以區(qū)分可見(jiàn)表面和不可見(jiàn)表面。,一、棱柱,一個(gè)平面立體若有兩個(gè)平行的表面，而其余所有的表面的每?jī)蓚€(gè)相鄰表面的交線都相互平行，這個(gè)平面體稱為棱柱。棱柱表面由上、下底面和側(cè)棱面構(gòu)成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線為棱線，棱線相互平行。側(cè)棱面與底面的交線為底邊。 棱線與底面垂直的棱柱為直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱；棱線與底面傾斜的棱柱為斜棱柱。,棱柱的投影特性：,其一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線為矩形。,將正六棱柱底面平行于H面，前后兩棱面平行于V面放置。 在圖示位置時(shí)，六棱柱的兩底面為水平面；前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個(gè)側(cè)棱面是鉛垂面。,六棱柱的

3、投影圖,下圖是斜三棱柱及其在兩投影面上的投影，該棱柱的底面為水平面，向上、向右、向前傾斜。,二、棱錐,平面立體若有一個(gè)表面是多邊形，其余各個(gè)表面都是具有同一個(gè)頂點(diǎn)的三角形，這個(gè)平面體稱為棱錐。 棱錐表面由底面和側(cè)棱面構(gòu)成。棱錐的棱線匯交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為錐頂。 若棱錐的底面是正多邊形，且錐頂與底面中心的連線垂直于底面，稱為正棱錐。,將三棱錐置于三投影面體系中，使其底面平行于H面，后棱面垂直于W面。,其一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線為三角形。,棱錐的投影特性：,三棱錐的投影圖,5.1.2 平面體表面上的點(diǎn),點(diǎn)的可見(jiàn)性判別： 若點(diǎn)所在的平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)；否則點(diǎn)的投影不可見(jiàn)。,（a

4、）,一、棱柱表面上取點(diǎn),r,二、三棱錐表面上取點(diǎn),( ),三棱錐表面上取點(diǎn),( ),（3）,三棱錐表面上取點(diǎn),( ),5.2 平面與平面立體截交,平面與立體相交，可設(shè)想為立體被平面所截切。這個(gè)平面稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線。截交線所圍成的圖形稱為截?cái)嗝妗?平面與平面立體截交,截平面,截交線,目的： 求截交線。, 截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊形，其 形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切 位置。, 截交線的每條邊是截平面與參與相交棱面和底面的交線；截交線的每個(gè)端點(diǎn)是截平面與參與相交的棱線和底邊的交點(diǎn)。,截交線的性質(zhì)：,例1：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影,

5、3,2,1,(4), 空間分析,交線的形狀？, 投影分析, 求截交線, 分析棱線的投影, 檢查 尤其注意檢查截 交線投影的類(lèi)似性,s,a,b,c,(d),a,d,c,b,s,s,b,(c),a,d,例1：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影,例2：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影,注意： 要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。,s,a,b,c,(d),a,d,c,b,s,s,b,(c),a,d,截平面P,截平面Q,P為水平面,Q為側(cè)平面,例2：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影,1.幾何抽象-把形體抽象成基本立體被平面切割或挖切

6、而形成，畫(huà)出立體切割前原始形狀的投影； 2.分析截交線的形狀-分析有多少表面或棱線、底邊參與相交，判明截交線是三角形、矩形或其他多邊形等； 3.分析截交線的投影特性-根據(jù)截平面的空間狀態(tài)分析截交線的投影特性，如實(shí)形性、積聚性、相仿性等； 4.連成多邊形-分別求出截平面與各參與相交的表面的交線，或求出截平面與各參與相交的棱線、底邊的交點(diǎn)，并連成多邊形； 5.對(duì)圖進(jìn)行修飾-丟棄被截掉的棱線，補(bǔ)全、接上原圖中未定的圖線，并分清可見(jiàn)性，加深描黑。,繪制截切體投影圖的一般方法和步驟：,5.3 直線與平面立體相交,直線與平面立體表面相交產(chǎn)生交點(diǎn)，稱為貫穿點(diǎn)。對(duì)于凸多面體來(lái)說(shuō)，有兩個(gè)貫穿點(diǎn)（穿進(jìn)和穿出時(shí)的交

7、點(diǎn)）。因?yàn)槠矫骟w表面都為平面組成，故求貫穿點(diǎn)的方法跟求直線與平面交點(diǎn)的方法基本相同。,一、直線或平面體表面的投影具有積聚性時(shí),直線與平面體相交，直線或平面體表面的投影具有積聚性時(shí)，利用積聚性可以很方便作出貫穿點(diǎn)的投影。因?yàn)榇藭r(shí)交點(diǎn)的一個(gè)投影為已知，另一個(gè)投影可用直線上取點(diǎn)或平面上取點(diǎn)的方法求得。,舉例說(shuō)明： 1、平面體表面具有積聚性。（見(jiàn)教材P83:圖612 直線與四棱柱貫穿） 2、直線具有積聚性。（見(jiàn)教材P83: 圖613 正垂線與三棱錐貫穿）,二、直線和多面體表面的投影均無(wú)積聚性的情況,在建筑形體中常常會(huì)見(jiàn)到由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本形體相交而形成的組合形體，例如平面體與平面體相交（簡(jiǎn)稱平平相

8、交）、平面體與曲面體相交（簡(jiǎn)稱平曲相交）、曲面體與曲面體相交（簡(jiǎn)稱曲曲相交）。兩立體相交又稱立體相貫，其表面的交線稱為相貫線。,5.4 兩平面立體相貫,根據(jù)兩相貫立體相貫位置的不同，有“全貫”和“互貫”兩種情況。當(dāng)一個(gè)立體全部貫穿另一個(gè)立體時(shí)，稱為全貫，有兩組相貫線，（如圖a）；當(dāng)兩個(gè)立體互相貫穿時(shí)，稱為互貫，有一組相貫線（如圖b）。,相貫線是兩相交立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩相交立體的共有點(diǎn)。兩立體相貫后應(yīng)把它們視為一個(gè)整體，因而一立體位于另一立體內(nèi)的部分是不存在的，不應(yīng)畫(huà)出。,折線的各線段是兩平面體相交棱面（或底面）的交線；折線的各頂點(diǎn)是各平面體上參與相交的各棱線與另一平面體棱面（或

9、底面）的交點(diǎn)。,相貫線的性質(zhì)：,不同的立體以及不同的相貫位置,相貫線的形狀也不同;兩平面立體相交，其相貫線在一般情況下是封閉的空間折線。,判別相貫線可見(jiàn)性的原則：只有位于兩形體都可見(jiàn)的表面上的交線，是可見(jiàn)的。兩立體只要有一個(gè)表面不可見(jiàn)，面上的交線就不可見(jiàn)。,求相貫線的方法,求作兩平面立體相貫線，實(shí)質(zhì)上仍歸結(jié)為求直線與平面的交點(diǎn)，以及求平面與平面交線的問(wèn)題。,求兩平面立體相貫線的方法有兩種：,一、求一形體參與相交的各表面與另一形體表面的交線。,二、求所有參與相交的側(cè)棱對(duì)另一形體表面的交點(diǎn)，然后依據(jù)一定的規(guī)則將交點(diǎn)連接而得到相貫線。,同時(shí)位于兩立體的同一表面上的兩點(diǎn)，才能進(jìn)行連接。,例題：,1、例

10、3.兩三棱柱相交.swf,（1）首先應(yīng)進(jìn)行形體分析-根據(jù)投影圖分析兩立體的相對(duì)位置、有哪些表面相交、有哪些棱線貫穿，交線的形狀； （2）兩平面體的交線均可分析為“平面與平面體的截交線”或“直線與平面體的貫穿點(diǎn)”，故依次求出各段交線或者求出所有貫穿點(diǎn)，然后依據(jù)一定 的規(guī)則將各點(diǎn)連接即可（連線時(shí)應(yīng)注意所求共有點(diǎn)的連線原則和連接順序，依次將其編號(hào)是有效辦法）； （3）判斷各連線的可見(jiàn)性，完成作圖。,歸納：,3.5 同坡屋面交線,坡屋面是常見(jiàn)的一種屋面形式，在坡屋面中，如果每個(gè)屋面對(duì)水平面（地面）的傾角相同，而且房屋四周的屋檐同高，則稱為同坡屋面。,同坡屋面的交線是兩平面體相貫的工程實(shí)例，但同坡屋面具有一些特殊的性質(zhì)，有利于作圖。,（或屋檐）,3、在屋面上如果有兩斜脊、兩天溝或一斜脊一天溝相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)處必有第三條交線通過(guò)（即屋脊線）。,（2）同坡屋面的投影,同坡屋面的交線的特點(diǎn)：,F,c (e),m (d),n (f),b,a ,c,a,e,b,f,h,g,m,n,d,N,M,e ,(f ),h ,a ,g ,e ,e