1、平行六面體與長方體,江北中學曹新田,學習目標:,1、理解平行六面體、直平行六面體、 長方體、正方體的概念； 2、掌握四棱柱之間的從屬關系； 3、掌握平行六面體的性質(zhì)； 4、掌握長方體的性質(zhì)。,復習提問:,1棱柱的定義中，強調(diào)了棱柱的二個特點，它們分別指什么？,2棱柱分為斜棱柱、直棱柱、正棱柱的依據(jù) 是什么？,3棱柱的三條性質(zhì)？,平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱,直平行六面體：側(cè)棱與底面垂直的平行六面體,長方體：底面是矩形的直平行六面體,正方體：棱長都相等的長方體,特殊的四棱柱,一、平行六面體與長方體：,四棱柱,平行六面體,長方體,直平行六面體,正四棱柱,正方體,底面變?yōu)?平行四邊形,側(cè)棱與

2、底面 垂直,底面是 矩形,底面為 正方形,側(cè)棱與底面 邊長相等,幾種六面體的關系：,其關系為：,練習:下列四個命題，正確的是（ ） A.底面是矩形的平行六面體是長方體 B.棱長都相等的直四棱柱是正方體 C.有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體 D.對角線相等的平行六面體是直平行六面體,D,二、特殊的四棱柱性質(zhì)：,問題1：在平面幾何中平行四邊形、長方形各有什么性質(zhì)?,平行四邊形對角線互相平分；長方形的長為a，寬為b，則對角線長為L2=a2+b2,問題2：在立體幾何中平行六面體、長方體是否也有類似的性質(zhì)呢?,定理1：平行六面體的對角線相交于 一點，并且在交點處互相平分。,已知：平行

3、六面體ABCDABCD 求證：對角線AC、BD、CA、DB相交于一點O，且在點O處互相平分。,證明：設O是A 的中點，則,設P、M、N分別是 、 、 的中點，,同樣可證,由此可知O、P、M、N四點重合，定理得證。,結(jié)論: 1.平行六面體的對棱平行且相等。 2.平行六面體的對角線交于一點， 并且在交點處互相平分。 3.平行六面體的四條對角線的平方和等于它12條棱的平方和。,定理2：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。,證明：,結(jié)論:長方體AC / 中, AC / 是 它的一條對角線，則,例1：若長方體的三個面的面積分別為 、 和 ，則長方體的對角線長為_,解：設長方體的長、

4、寬、高分別為a、b、c， 對角線長為l，則,把棱柱的側(cè)面沿一條側(cè)棱剪開后展開在一個平面上，展開后的圖形稱為棱柱的側(cè)面展開圖；展開圖的面積稱為棱柱的側(cè)面積。,棱柱的側(cè)面積等于棱柱的各個側(cè)面面積之和。,棱柱的側(cè)面積和體積:,S側(cè)S1+S2+,直棱柱:,斜棱柱:,S側(cè)S1+S2+ V斜棱柱S底h高,棱柱的側(cè)面積和體積:,V直棱柱S底h高 S底l側(cè)棱,S側(cè)直截面周長側(cè)棱長,V斜棱柱直截面面積側(cè)棱長,例2：如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中， E、F分別為BB1、CD的中點. (1)求證：ADD1F； (2)求AE與D1F所成的角； (3)證明：平面AED平面A1FD1.,F,E,例2：如圖在正方

5、體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點. (1)求證：ADD1F； (2)求AE與D1F所成的角； (3)證明：平面AED平面A1FD1.,解：(1)AC1是正方體 AD平面DC1 D1F平面DC1 ADD1F.,F,E,解： (2)取AB中點G，連結(jié)A1G、GE、FG F是CD中點， GF/AD,GF=AD， 又A1D1/AD,A1D1=AD， GF/A1D1且GF=A1D1， GFD1A1是平行四邊形， A1G/D1F且A1G=D1F. 設AE、A1G交于H，則AHA1是AE與D1F所成的角.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,F,H,例2：如圖在正方體A

6、BCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點. (1)求證：ADD1F； (2)求AE與D1F所成的角； (3)證明：平面AED平面A1FD1.,解： (3)ADD1F， AED1F，又ADAE=A， D1F平面AED. 又D1F平面A1FD1 平面AED 平面A1FD1.,例2：如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點. (1)求證：ADD1F； (2)求AE與D1F所成的角； (3)證明：平面AED平面A1FD1.,例3：平行六面體ABCDA1B1C1D1的棱長都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60. (1)求證：平面ACC1A1

7、平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距離.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,例3：平行六面體ABCDA1B1C1D1的棱長都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60. (1)求證：平面ACC1A1平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距離.,解:(1)作CO平面A1B1C1于O. 由CC1B1=CC1D1 O在B1C1D1的角平分線上， 又因為A1B1C1D1是菱形， O在A1C1上， 根據(jù)三垂線定理，由B1D1A1C1得D1B1CC1， B1D1平面A1C1CA， 平面BB1D1D 平面A1C1CA.,A,B,C,D,A

8、1,B1,C1,D1,(2)作OMB1C1于M，連CM， 由三垂線定理得CMB1C1， 在RtCC1M中，CC1=a，CC1M=60,RtC1MO中，OC1M=30，有OC1=,于是OC2=CC12=C1O2=,即得C到平面A1B1C1的距離為,.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,O,C1M=,例3：平行六面體ABCDA1B1C1D1的棱長都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60. (1)求證：平面ACC1A1平面BB1D1D； (2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距離.,應用:,1、下列說法正確的是（ ）,A、直四棱柱是直平行六面體 B、底面是平行四邊形的棱柱是平行六面體 C、底面是矩形的平行六面體是長方體 D、各側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體,2、長方體同一頂點的三個面對角線長分別為a,b,c,則它的體對角線長為 （ ）,B,C,解:,建立如圖空間直角坐標系作 BEAC于E,MFAC于F得.,3、如圖，已知正