1、正方形的性質(zhì)與判定一、選擇題(本大題共10小題)1.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使AE=AC，則BCE的度數(shù)是（） A.22.5B.25C.23D.20 2.如一個(gè)四形的兩對(duì)線(xiàn)互垂直平分且相等那么個(gè)四邊形是（） A.平行四邊形B.菱形C.正方形D.矩形 3.四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，ADBC，AD=BC，使四邊形ABCD為正方形，下列條件中：AC=BD；AB=AD； AB=CD；ACBD需要滿(mǎn)足（） A.B.C.D.或 4.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，OA=3，則此正方形的面積為（） A.3B.12C.18D.36 5.如圖，在四邊形A

2、BCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，若AO=C0=BO=DO，ACBD，則四邊形ABCD的形狀是（） A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形 6.已知在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，OEAB交BC于點(diǎn)E，若AD=8cm，則OE的長(zhǎng)為（） A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm 7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、F作AD、AB的平行線(xiàn)，則圖中陰影部分的面積的和為（） A.x2 B.x2 C.x2 D.x2 8.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是（） A.30B.34

3、C.36D.40 9.如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，EFAB，EGBC，F(xiàn)、G是垂足，若正方形ABCD周長(zhǎng)為a，則EF+EG等于（） A.B.C.aD.2a 10.已知正方形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，則它的面積是（） A.2B.4C.6二、填空題(本大題共6小題)11.如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，以CE為對(duì)角線(xiàn)構(gòu)造正方形CMEN，點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)部，連接AM，與CD邊交于點(diǎn)F若CF=3，DF=2，連接BN，則BN的長(zhǎng)為 _ 12. 如圖，已知：正方形EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上若正方形ABCD的面積為16，AE

4、=1，則正方形EFGH的面積為 _ 13. 如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)E處，則CME= _ 14. 如圖，BD是ABC的角平分線(xiàn)，DEBC，交AB于點(diǎn)E，DFAB，交BC于點(diǎn)F，當(dāng)ABC滿(mǎn)足條件 _ 時(shí)，四邊形BEDF是正方形15. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，線(xiàn)段GH=AB，將GH的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)，如果G點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按ABCDA滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按BCDAB滑動(dòng)到B止，在這個(gè)過(guò)程中，線(xiàn)段GH的中點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形的面積為 _ 16.如圖，在正方形ABCD中，AB=，點(diǎn)P為邊A

5、B上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)A、P在正方形內(nèi)部作正方形APEF，交邊AD于F點(diǎn)，連接DE、EC，當(dāng)CDE為等腰三角形時(shí)，AP= _ 三、解答題(本大題共8小題)17.已知：P是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，PEAB，PFBC，E、F分別為垂足 （1）求證：DP=EF （2）試判斷DP與EF的位置關(guān)系并說(shuō)明理由 18.如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接EB、ED （1）寫(xiě)出圖中所有的全等三角形； （2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若DEB=140，求AFE的度數(shù) 19.已知，在正方形ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且EB=BC，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，請(qǐng)你將F點(diǎn)與圖中某一標(biāo)明字母的點(diǎn)

6、連接成線(xiàn)段，使連成的線(xiàn)段與AE相等并證明這種相等關(guān)系 20.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，PBAC，PCBD，PB、PC相交于點(diǎn)P （1）猜想四邊形PCOB是什么四邊形，并說(shuō)明理由； （2）當(dāng)矩形ABCD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形PCOB是正方形 正方形的性質(zhì)與判定練習(xí)參考答案1、 選擇題。1.A 解：四邊形ABCD是正方形， CAB=BCA=45； ACE中，AC=AE，則： ACE=AEC=（180-CAE）=67.5； BCE=ACE-ACB=22.5 故選A 2. C解：如果一個(gè)邊形兩對(duì)角線(xiàn)相垂直分且相等，那么這個(gè)邊形正方形， 求證四邊形ABC正方形， ACBD， 平四邊形CD為菱

7、形， 已知：四邊ABCD，A，O=O，OBOD，AC=BD， 四邊形ACD為方形 邊形ABCD為平行四形， 選C 3.D 解：ADBC，AD=BC 四邊形ABCD為平行四邊形 AC=BD 平行四邊形ABCD是矩形 若AB=AD 則四邊形ABCD為正方形； 若ACBD，則四邊形ABCD是正方形 故選D 因?yàn)锳DBC，AD=BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，添加則可根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，證明四邊形是矩形，故可根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形來(lái)添加條件 本題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種： 先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明有一組鄰邊相等； 先說(shuō)明它

8、是菱形，再說(shuō)明它有一個(gè)角為直角 4.C解：正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，OA=3， AB=BC，OA=OC， AB=， 正方形的面積=， 故選C 5.D解：四邊形ABCD的形狀是正方形， 理由如下： AO=C0=BO=DO， 四邊形ABCD是平行四邊形， ACBD， 四邊形ABCD是菱形， AO=C0=BO=DO， AC=DB， 四邊形ABCD是正方形， 故選D 6.B 解：四邊形ABCD是正方形， AD=AB=8cm，OA=OC， OEAB， OE是ABC的中位線(xiàn)， OE=AB=4cm， 故選B 7. B解：FPCD， BPF=C=90（同位角相等）； 在BFP和BDC中， ，

9、 BFPBDC， =， 同理，得=， 又AD=CD， NF=FP， BNF=BPF=90，BF=BF， BNFBPF， SBNF=SBPF， 同理，求得多邊形NFEM與多邊形PFEQ的面積相等，多邊形MEDA與多邊形QEDC的面積相等， 圖中陰影部分的面積是正方形ABCD面積的一半，即 故選B 8. B解：四邊形ABCD是正方形， A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA， AE=BF=CG=DH， AH=BE=CF=DG 在AEH、BFE、CGF和DHG中， ， AEHBFECGFDHG（SAS）， EH=FE=GF=GH，AEH=BFE， 四邊形EFGH是菱形， BEF+BFE=90，

10、 BEF+AEH=90， HEF=90， 四邊形EFGH是正方形， AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， EH=FE=GF=GH=， 四邊形EFGH的面積是：=34， 故選B 9.A 解：E是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)， BAC=ACB=45， EFAB，EGBC，F(xiàn)、G是垂足， EG=CG，EF=AF， 正方形ABCD周長(zhǎng)為a， BC=， EF+EG等于， 故選A 10. C.解：在正方形中，對(duì)角線(xiàn)相等，所以正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)均為2， 正方形又是菱形， 菱形的面積計(jì)算公式是S=ab（a、b是正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度） S=6， 故選 C 二、填空題。11.解：如圖，連接

11、MN，延長(zhǎng)AM、BC交于點(diǎn)G，MN與CD交于點(diǎn)H，作NKBC于K 四邊形ABCD是正方形，DF=2CF=3， ADBG，AD=BC=CD=5， =， CG=， 四邊形ENCM是正方形， NH=HM=CH=EH，MNEC，設(shè)CH=x， MHCG， =， =， x=， 在RTBNK中，BKN=90，NK=CH=，BK=BC-CK=， BN= 故答案為 12.解：四邊形ABCD、EFGH均為正方形， A=B=90，EFG=90，EF=FG AFE+BFG=90，BFG+BGF=90， AFE=BGF 在AFE和BGF中， AFEBGF（AAS）， BF=AE=1 正方形ABCD的面積為16， AB=

12、4，AF=AB-BF=3 同理可證出AFEBGFCHGDEH S正方形EFGH=S正方形ABCD-4SAFE=16-413=10 故答案為：10 13.解：四邊形ABCD是正方形， B=90，ACB=45， 由折疊的性質(zhì)得：AEM=B=90， CEM=90， CME=90-45=45； 故答案為：45 14. 解：當(dāng)ABC滿(mǎn)足條件ABC=90，四邊形DEBF是正方形 理由：DEBC，DFAB， 四邊形DEBF是平行四邊形 BD是ABC的平分線(xiàn)， EBD=FBD， 又DEBC， FBD=EDB， 則EBD=EDB， BE=DE 故平行四邊形DEBF是菱形， 當(dāng)ABC=90時(shí)， 菱形DEBF是正方

13、形 故答案為：ABC=90 15.解：根據(jù)題意得點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為2，點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四個(gè)扇形， 點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積 正方形ABCD的面積為44=16，4個(gè)扇形的面積為4=4， 點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形的面積為16-4 故答案為16-4 16. 解：連接AE， 四邊形ABCD、APEF是正方形， A、E、C共線(xiàn)， 當(dāng)CD=CE=時(shí)，AE=AC-EC=2-， AP=AE=-1當(dāng)ED=EC時(shí)，DEC=90，EDC=ECD=45，EC=CD=1， AE=AC-EC=1， AP=AE= 當(dāng)CDE為等

14、腰三角形時(shí)，AP=-1或 故答案為或 3、 解答題。17.證明：（1）如圖1所示：連結(jié)PB 四邊形ABCD是正方形， BC=DC，BCP=DCP=45 在CBP和CDP中， CBPCDP DP=BP PEAB，PFBC，B=90 四邊形BFPE是矩形 BP=EF DP=EF （2）DPEF 理由：如圖2所示：延長(zhǎng)DP交EF于G，延長(zhǎng)EP交CD于H，連接PB CBPCDP， CDP=CBP 四邊形BFPE是矩形， CBP=FEP CDP=FEP 又EPG=DPH EGP=DHP PEAB，ABDC PHDC即DHP=90 EGP=DHP=90 PGEF，即DPEF 18.解：（1）根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性，正方形ABCD關(guān)于直線(xiàn)AC成軸對(duì)稱(chēng)， 所以，全等的三角形有：ADCABC，ADEABE，DCEBCE； （2）DEB=140， BEC=DEB=140=70， 又正方形對(duì)角線(xiàn)AC平分BCD， ACB=45， 在BCE中，CBE=180-BEC-ACB=180-70-45=65， ADBC， AFE=CBE=65 19.解：如圖，連接DF、CF均可得出與AE相等 證明：ABCD為正方形， AD=AB，DAF=ABE， F