1、三角變換、平面向量、函數(shù)、解三角形問題等綜合問題高考數(shù)學(xué)命題注重知識的整體性和綜合性，重視在知識的交匯處考察，對三角形問題的考察重點在于三角變換、向量、函數(shù)等的綜合，它們之間互相聯(lián)系、互相交叉，不僅考察三角變換，同時深化了向量的運算，體現(xiàn)了向量的工具作用，試題綜合性較高，所以要求學(xué)生有綜合處理問題的能力，縱觀最近幾年高考，試題難度不大，但是如果某一知識點掌握不到位，必會影響到整個解題過程 ，本文從以下幾個方面闡述解題思路，以達(dá)到拋磚引玉的目的.1. 向量與三角形問題的結(jié)合向量具有“雙重身份”，既可以像數(shù)一樣滿足“滿足運算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的運算，又可以利用它的幾何意義進(jìn)行幾何形式的變換，同時向

2、量加、減法的幾何運算遵循三角形法則和平行四邊形法則，這為向量和三角形問題的結(jié)合，提供了很好的幾何背景.1.1 向量與三角形談“心”內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓圓心）：三角形三條內(nèi)角平分線的交點；外心（三角形外接圓的圓心）：三角形各邊中垂線的交點；垂心：三角形各邊上高的交點；重心：三角形各邊中線的交點，用向量形式可表示為如下形式：若是內(nèi)的一點，是的內(nèi)心；若兩點分別是的邊上的中點,且 是的外心；若,則是的重心；若是面內(nèi)的一點，且，則是的垂心.例1.已知外接圓的圓心為，且，則 思路分析：本題主要考查兩個向量數(shù)量積的概念，考查兩個向量夾角公式的應(yīng)用，考查特殊角的三角函數(shù)值由于三角形的邊長不固定，所以不妨假設(shè)外接

3、圓的半徑為，也可以假設(shè)為，這個數(shù)會在后面運算過程中約掉三個向量的和為零向量，先將一個移動到另一邊，然后兩邊平方，利用向量運算公式，即可化簡出關(guān)于余弦值的表達(dá)式，由此求得角的大小【答案】點評：本題考查了向量的應(yīng)用，綜合性高，難度大，密切聯(lián)系已知條件和合理構(gòu)思是解題的關(guān)鍵.1.2 判斷三角形形狀三角形的邊可以看做向量的模長，三角形的內(nèi)角可以看做向量的夾角，所以可利用向量的數(shù)量積和夾角公式或者其他線性運算，結(jié)合平面幾何知識來判斷三角形的形狀例2. 【吉林省實驗中學(xué)2018屆第二次月考】已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點（不包括邊界），且滿足(-)(+-2)=0，則DABC的形狀一定為_.思路分析：（1）

4、利用向量的線性運算，向量的數(shù)量積找出邊之間關(guān)系，從而推斷出，可知是等腰的三角形【答案】等腰三角形【解析】,又,，故.DABC一定為等腰三角形.點評：此題考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積應(yīng)用，利用向量的數(shù)量積可以很好得解決了三角形的邊角問題，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵 1.3 向量運算與三角形問題的綜合運用解答這類題，首先向量的基本概念和運算必須熟練，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的應(yīng)用條件，其次要注意把題目中的向量用三角中邊和角表示，體現(xiàn)向量的工具作用.例3.【河北衡水金卷2018屆模擬一】已知的內(nèi)角， ， 的對邊， ， 分別滿足， ，又點滿足（1）求及角的大??；（2）求的值思路分析：（1）

5、由及正弦定理化簡可得即，從而得又，所以，由余弦定理得；（2）由，得 ，所以點評：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 2. 三角函數(shù)與三角形問題的結(jié)合三角函數(shù)的起源是三角形，所以經(jīng)常會聯(lián)系到三角形，這類型題是在三角形這個載體上的三角變換，第一：既然是三角形問題，就會用到三角形內(nèi)角和定理和正、余弦定理以及相關(guān)三角形理論，及時邊角轉(zhuǎn)換，可以幫助發(fā)現(xiàn)問題解決思路；第二：它也是一種三角變換，只不過角的范圍縮小了，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的.例4. 的內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，已知，.（1）求角的大?。唬?）若

6、，求的面積.思路分析：（）由二倍角公式進(jìn)行降次：，再根據(jù)配角公式進(jìn)行分類整理，最后根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得角之間關(guān)系：，即，（）由正弦定理可求邊，即由得，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系求角，最后利用三角形面積公式：點評：本題考查了正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，第一問中要熟練掌握三角變換公式；第二問涉及到三角形面積公式. 3. 三角變換、向量、三角形問題的綜合高考會將幾方面結(jié)合起來命題，三角函數(shù)主要考察它的圖象、常見性質(zhì)；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有關(guān)的三角形性質(zhì)；向量主要考察向量的運算、向量的模、向量的夾角、向量的垂直以及向量的共線，體現(xiàn)向量的工具作用，三角變換主要考察求值、化簡、變形.例5.

7、【浙江省臺州中學(xué)2018屆第三次統(tǒng)練】已知向量, ，記(1) 若 ，求的值；(2) 在銳角 中，角 的對邊分別是 且滿足 ，求 的取值范圍思路分析：（1）由, ， ，利用平面向量數(shù)量積公式可得，利用二倍角的余弦公式可得結(jié)果；(2)由，根據(jù)正弦定理得，再由兩角和的正弦公式化簡可得，從而求得，求得，利用三角函數(shù)的有界性即可得結(jié)果.點評：1.本題考查解三角形，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，繼而求出的值；高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，其中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是 “變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.實

8、際應(yīng)用中的三角形問題在實際生活中往往會遇到關(guān)于距離、角度、高度的測量問題，可以借助平面圖形，將上述量放在一個三角形中，借助解三角形知識達(dá)到解決問題的目的.例6. 【江蘇省如東高級中學(xué)2018屆期中】某綜藝頻道舉行某個水上娛樂游戲，如圖，固定在水面上點處的某種設(shè)備產(chǎn)生水波圈，水波圈生產(chǎn)秒時的半徑（單位： ）滿足； 是鋪設(shè)在水面上的浮橋，浮橋的寬度忽略不計，浮橋兩端固定在水岸邊.游戲規(guī)定：當(dāng)點處剛產(chǎn)生水波圈時，游戲參與者（視為一個點）與此同時從浮橋的端跑向端；若該參與者通過浮橋的過程中，從點處發(fā)出的水波圈始終沒能到達(dá)此人跑動時的位置，則認(rèn)定該參與者在這個游戲中過關(guān)；否則認(rèn)定在這個游戲中不過關(guān)，已知

9、， ，浮橋的某個橋墩處點到直線的距離分別為，且，若某游戲參與者能以的速度從浮橋端勻速跑到端.（1）求該游戲參與者從浮橋端跑到端所需的時間？（2）問該游戲參與者能否在這個游戲中過關(guān)？請說明理由.思路分析：（1）設(shè)，由，解得或（舍）.求得直線的方程為，與聯(lián)立可得，求得AB,進(jìn)而可得所需時間；（2）求得時，點坐標(biāo)為，其中. ， .構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)計算可得時， 恒成立，所以該參與者在這個游戲中過關(guān).（2）在中， ， .設(shè)時，該參與者位于點，則， .則時，點坐標(biāo)為，其中.， .令 ，則 時， 在上為增函數(shù)，時， 在上為減函數(shù)，故當(dāng)時， 取得最大值.由于，所以時， 恒成立.即該游戲參與者通過浮橋的過程中，從點處發(fā)出的水波圈始終沒能到達(dá)此人跑動時的位置，所以該參與者在這個游戲中過關(guān).點評：本題考查的是函數(shù)模型的應(yīng)用.解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，要注意以下幾點：讀懂實際背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型對涉及的相關(guān)公式，記憶要準(zhǔn)確在求解的過程中計算要正確.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解