1、第十一單元 選考4部分第67講坐標系課前雙擊鞏固1.平面直角坐標系中的伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換:的作用下,點P(x,y)對應(yīng)到點P(x,y),稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換. 2.極坐標系(1)設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫作點M的,記為.以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫作點M的,記為.有序數(shù)對(,)叫作點M的極坐標,記作M(,). (2)極坐標與直角坐標的關(guān)系:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標是(,),則它

2、們之間的關(guān)系為x=,y=sin ,由此得2=,tan =(x0). 3.常用簡單曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為r的圓=r圓心為(r,0),半徑為r的圓=2rcos 圓心為,半徑為r的圓=2rsin (00,0b0)(為參數(shù))3.直線的參數(shù)方程的標準形式的應(yīng)用過點M0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)). 若M1,M2是l上的兩點,其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則:(1)M1,M2兩點的坐標分別是(x0+t1cos ,y0+t1sin ),(x0+t2cos ,y0+t2sin );(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|M0M2|=|t1t2|

3、;(3)若線段M1M2的中點M所對應(yīng)的參數(shù)為t,則t=,中點M到定點M0的距離|MM0|=|t|=;(4)若M0為線段M1M2的中點,則t1+t2=0.課堂考點探究探究點一曲線的參數(shù)方程1 在平面直角坐標系xOy中,過點A(a,2a)的直線l的傾斜角為,點P(x,y)為直線l上的動點,且|AP|=t.圓C以C(2a,2a)為圓心,為半徑,Q(x,y)為圓C上的動點,且CQ與x軸正方向所成的角為.(1)分別以t,為參數(shù),求出直線l和圓C的參數(shù)方程;(2)當直線l和圓C有公共點時,求a的取值范圍. 總結(jié)反思 幾種常見曲線的參數(shù)方程:(1)直線的參數(shù)方程.過點P(x0,y0)且傾斜角為的直線l的參數(shù)

4、方程為(t為參數(shù)).(2)圓的參數(shù)方程.若圓心為點M0(x0,y0),半徑為r,則圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(3)橢圓+=1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(4)雙曲線-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(5)拋物線y2=2px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).式題 2017長沙二模 在平面直角坐標系中,已知直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|.探究點二參數(shù)方程與普通方程的互化2 2017臨汾三模 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐

5、標方程為sin=m.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;(2)若曲線C1與曲線C2有公共點,求實數(shù)m的取值范圍. 總結(jié)反思 (1)消去參數(shù)的方法一般有三種:利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式,然后代入消去參數(shù);利用三角恒等式消去參數(shù);根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活選用一些方法,從整體上消去參數(shù).(2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致.式題 2017湖北六校二聯(lián) 已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(為參數(shù)).(1)設(shè)l與C1相交于A,B兩點,求|AB|;(2)若把曲線C1上各點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的,得到曲線C2,設(shè)點P

6、是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最大值.探究點三直線的參數(shù)方程3 2017雅安三診 平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為sin=.(1)求曲線C的普通方程和直線l的傾斜角;(2)設(shè)點P(0,2),直線l和曲線C交于A,B兩點,求|PA|+|PB|. 總結(jié)反思 (1)直線的參數(shù)方程有多種形式,只有標準形式中的參數(shù)才具有幾何意義,即參數(shù)t的絕對值表示對應(yīng)的點到定點的距離.(2)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準形式中t的幾何意義,有如下常用結(jié)論:若直線與圓錐曲線相交,交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則弦長l=|t

7、1-t2|;若定點M0(標準形式中的定點)是線段M1M2(點M1,M2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,下同)的中點,則t1+t2=0;設(shè)線段M1M2的中點為M,則點M對應(yīng)的參數(shù)為tM=.式題 2017鷹潭一模 在直角坐標系xOy中,過點P作傾斜角為的直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點M,N.(1)寫出直線l的參數(shù)方程;(2)求+的取值范圍.探究點四圓、圓錐曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用4 在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0b,那么;如果bbbb,bc,那么,即ab,bc. (3)如果ab,那么a+c,即aba+c. 推論:如果ab,cd,那么,即ab,cd. (4)如果a

8、b,c0,那么ac;如果ab,c0,那么acb0,那么anbn(nN,n2). (6)如果ab0,那么(nN,n2).2.基本不等式(1)如果a,bR,那么a2+b2,當且僅當時,等號成立. (2)如果a0,b0,那么,當且僅當時,等號成立. (3)如果a0,b0,那么稱為a,b的平均,稱為a,b的平均. (4)如果a0,b0,c0,那么,當且僅當時,等號成立. (5)對于n個正數(shù)a1,a2,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均,即,當且僅當a1=a2=an時,等號成立.3.絕對值不等式(1)如果a,b是實數(shù),那么|a+b|a|+|b|,當且僅當時,等號成立.(2)如果a,b,c是實數(shù),那

9、么|a-c|a-b|+|b-c|,當且僅當時,等號成立.課堂考點探究探究點一絕對值三角不等式的應(yīng)用1 2017湖南長郡中學(xué)二模 若對于實數(shù)x,y,有|x+y+1|,求證:. 總結(jié)反思 (1)對絕對值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|中取等號的條件要深刻理解,特別是用此定理求函數(shù)的最值時,要檢驗等號是否能取到.該定理可以強化為|a|-|b|ab|a|+|b|,它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函數(shù)的最值問題時,利用絕對值三角不等式更方便.式題 若x,y滿足|x-3y|,|x+2y|,求證:|x|0).(1)求證:f(x)8

10、恒成立;(2)求使得不等式f(1)10成立的實數(shù)m的取值范圍. 總結(jié)反思 含有絕對值的不等式的證明方法:去掉絕對值符號(|x|a-axa(a0),|x|axa或x0)再證明;利用絕對值不等式的性質(zhì)(|a|-|b|ab|a|+|b|)來證明.式題 2017宣城二調(diào) 已知f(x)=|ax-1|,若實數(shù)a0,不等式f(x)3的解集是x|-1x2.(1)求a的值;(2)若ba-b0,aba-bb,只要證明即可,這種方法稱為求差比較法. 求商比較法:ab01且a0,b0,因此當a0,b0時要證明ab,只要證明1即可,這種方法稱為求商比較法. (2)分析法從所要證明的出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至

11、所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實,從而得出要證的命題成立,這種證明方法稱為分析法,即“執(zhí)果索因”的證明方法. (3)綜合法從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法稱為綜合法,即“由因?qū)す钡姆椒? (4)放縮法證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡化不等式,從而達到證明的目的,這種方法稱為放縮法.(5)反證法的步驟作出否定的假設(shè);進行推理,導(dǎo)出;否定,肯定.2. 柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a1,a2,b1,b2均為實數(shù),則(+)(+)(當且僅當a1b2=a2b1時,等號成立). 柯

12、西不等式的向量形式:設(shè),為平面上的兩個向量,則|,當且僅當是零向量或存在實數(shù)k,使=k時,等號成立. 二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2R,那么+,當且僅當x1y2=x2y1時,等號成立. (2)一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實數(shù),則(+)(+)(a1b1+a2b2+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,n)或存在一個實數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,n)時,等號成立. 課堂考點探究探究點一柯西不等式的應(yīng)用1 已知x,y,z是正實數(shù),且滿足x+2y+3z=1.(1)求+的最小值;(2)求證:x2+y2+z2. 總結(jié)反思 對于若干個單

13、項式的平方和,因為其符合柯西不等式(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)(am+bn+cp)2,所以只要補足另一個平方和多項式,便可利用柯西不等式來求最值.式題 2017長沙雅禮中學(xué)二模 已知關(guān)于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)求證:2+4.探究點二利用綜合法、分析法證明不等式2 2017衡水中學(xué)二模 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x-2m|-|x|,mN*,且f(x)0),+2(ab0),+-2(ab0),利用已知條件得出M點坐標,根據(jù)|OM|OP|=16列方程可得C2的極坐標方程,再將極坐標方程化為直角坐標方程;(2)設(shè)B(B,)(B0),由|O

14、A|=2,B=4cos ,即可求出OAB面積的最大值.解:(1)設(shè)P的極坐標為(,)(0),M的極坐標為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程為=4cos (0),因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.當=-時,S取得最大值2+,所以O(shè)AB面積的最大值為2+. 變式題解:(1)x=cos ,y=sin ,C1的極坐標方程為cos +sin -4=0.x2+(y-1)2=1,又x=c

15、os ,y=sin ,(cos )2+(sin -1)2=1,即2-2sin =0,C2的極坐標方程為=2sin .(2)設(shè)A(1,),B(2,),則1=,2=2sin ,則=2sin (cos +sin )=,又00,設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-0,所以t10,t20,即sin2,又0,),sin1,又t1+t2=-(cos +3sin ),t1t2=2,+=-=-=sin,sin1,0,設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則又直線l過點P(1,2),結(jié)合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=2.故+=,所以所求的最小值為.變式

16、題解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),其普通方程為(x+4)2+(y-3)2=1,C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓.曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為+=1,C2為中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.(2)由t=,得P(-4,4),設(shè)Q(8cos ,3sin ),故M-2+4cos ,2+sin ,(cos -2sin )=7可化為x-2y=7,故M到C3的距離d=|4cos -3sin -13|=|5cos(+)-13|其中tan =,從而當cos(+)=1時,d取得最小值,為.【備選理由】例1考查了圓的參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直線與圓相

17、交求弦長;例2考查了直線的參數(shù)方程與普通方程,圓的極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,直線參數(shù)方程的應(yīng)用;例3考查了曲線的極坐標方程與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化,以及曲線參數(shù)方程的應(yīng)用;例4考查了曲線參數(shù)方程與極坐標方程之間的轉(zhuǎn)化,以及曲線極坐標方程的應(yīng)用.以上幾題覆蓋了曲線參數(shù)方程與極坐標方程的幾種常見組合,是對例題的補充.1 配例2使用 2017珠海調(diào)研 已知在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為sin=2.(1)求曲線C的極坐標方程;(2)求直線l被曲線C截得的弦長.解:(1)曲線C的普通方程為(x-2)2+y2=4,即x

18、2+y2-4x=0,將代入,化簡得=4cos ,曲線C的極坐標方程是=4cos .(2)直線l的直角坐標方程為x+y-4=0,聯(lián)立得直線l與曲線C的交點坐標為(2,2),(4,0),所求弦長為=2.2 配例3使用 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以直角坐標系xOy的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=4sin.(1)求直線l的普通方程與圓C的直角坐標方程;(2)設(shè)圓C與直線l交于A,B兩點,若P點的直角坐標為(2,1),求|PA|-|PB|的值.解:(1)易得直線l的普通方程為y=x-1.因為曲線C的極坐標方程為=4sin=4sin +4cos ,即2=4si

19、n +4cos ,所以圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x-4y=0(或?qū)懗?x-2)2+(y-2)2=8).(2)點P(2,1)在直線l上,且在圓C內(nèi),把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0,設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=,t1t2=-70,即t1,t2異號,所以|PA|-|PB|=|t1|-|t2|=|t1+t2|=.3 配例4使用 在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:2=,直線l:2sin=.(1)判斷曲線C與直線l的位置關(guān)系,寫出直線l的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C的兩個交點分別為A,B,求|AB|的值.解

20、:(1)曲線C的直角坐標方程為+=1,直線l的直角坐標方程為x+y=,與y軸的交點為P(0,),將P(0,)代入橢圓方程左邊得0+1,故點P(0,)在橢圓的內(nèi)部,所以直線l與曲線C相交.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(2)由(1)知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的直角坐標方程為+=1,將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,設(shè)點A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|=6.4 配例4使用 2018岳陽一中月考 直角坐標系xOy中,直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的非負

21、半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為=-2cos +2sin .(1)分別求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;(2)設(shè)直線l交曲線C1于O,A兩點,交曲線C2于O,B兩點,求|AB|.解:(1)曲線C1:(為參數(shù)),化為普通方程是x2+(y-1)2=1,展開可得x2+y2-2y=0,可得其極坐標方程為2-2sin =0,即=2sin .曲線C2的極坐標方程為=-2cos +2sin ,即2=(-2cos +2sin ),化為直角坐標方程是x2+y2=-2x+2y.(2)直線l:(t為參數(shù)),化為普通方程是y=-x,可得其極坐標方程是=(R),|OA|=2sin=,|OB|

22、=-2cos+2sin=-2+2=4,|AB|=|OB|-|OA|=4-.第69講不等式的性質(zhì)及絕對值不等式考試說明 1. 理解絕對值的幾何意義,并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件:|a+b|a|+|b|(a,bR);|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).2. 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.【課前雙基鞏固】知識聚焦1. (1)bb(2)acac(3)b+cb+ca+cb+da+cb+d(4)bcbc(5)(6)2. (1)2aba=b(2)a=b(3)算術(shù)幾何(4)a=b=c(5)3. (1)ab0(2)(

23、a-b)(b-c)0【課堂考點探究】例1思路點撥 借助絕對值三角不等式進行證明.證明:=x+y+1-y+|x+y+1|+=,所以.變式題證明:由絕對值三角不等式的性質(zhì)得|x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x-3y)|+|3(x+2y)|=.例2思路點撥 (1)分類討論,去掉絕對值,分別求得不等式f(x)-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的圖像,數(shù)形結(jié)合求得滿足xa,+)時g(x)f(x)的a的取值范圍.解:(1)f(x)=當x-2時,x-4-2,即x2,x;當-2x1時,3x-2,即x-,-x1;當x1時,-x+4-2,即x6,1x6.綜上,f(x)-2的解集為.(2

24、)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示.g(x)=x-a,-a表示直線的縱截距,當直線過(1,3)點時,-a=2,當-a2,即a-2時,符合題意;當-a-2時,令-x+4=x-a,得x=2+,a2+,即a4.綜上,a-2或a4.變式題解:(1)當a=-1時,不等式f(x)0可化為|2x+1|-|x|-10,或或解得x-2或x0,不等式f(x)0的解集為(-,-20,+).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,則g(x)=作出函數(shù)y=g(x)的圖像,如圖所示,易知A-,-,B(0,-1),結(jié)合圖像知,當-1a10,分1-2m0和1-2m0,得f

25、(x)=+|x-2m|=+2m2=8,當且僅當=2m且(x-2m)0,即m=2且-4x4時取等號,所以f(x)8恒成立.(2)f(1)=+|1-2m|(m0).當1-2m時,f(1)=1+-(1-2m)=+2m,由f(1)10,得+2m10,化簡得m2-5m+40,解得m4,所以m4.當1-2m0,即010,得2+-2m10,此不等式在00,所以-x,因為不等式f(x)3的解集是x|-1x2,所以解得a=2.(2)因為=,所以要使,解得k或k-, 所以實數(shù)k的取值范圍是.【備選理由】這里選用的三個例題,涉及求絕對值不等式的解、由解集求參數(shù)、不等式的證明,以及不等式恒成立等問題,希望通過練習(xí)提高

26、學(xué)生的解題能力.1 配例1使用 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|5;(2)若對任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)由|x-1|+2|5得-5|x-1|+25,所以-7|x-1|3,得-2x4,故不等式|g(x)|5的解集為x|-2x4.(2)因為對任意x1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以y|y=f(x)y|y=g(x),又f(x)=|2x-a|+|2x+3|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+22,所以|a+3|2,解得a-1或a

27、-5,所以實數(shù)a的取值范圍為a-1或a-5.2 配例2使用 2017山西實驗中學(xué)模擬 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.(1)求不等式f(x)g(x)的解集;(2)如果f(x)|1-5a|恒成立,求a的取值范圍.解:(1)f(x)g(x),即|x-2|+|x+4|x2+4x+3.當x-4時,原不等式等價于-(x-2)-(x+4)x2+4x+3,即x2+6x+50,解得-5x-1,-5x2時,原不等式等價于(x-2)+(x+4)x2+4x+3,即x2+2x+10,解得x=-1,x.綜上可知,不等式f(x)g(x)的解集是x|-5x-2+.(2)|x-2|+|x+

28、4|x-2-x-4|=6,且f(x)|1-5a|恒成立,6|1-5a|,即-61-5a6,-1a,a的取值范圍是.3 配例3使用 2017深圳二調(diào) 已知函數(shù)f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,aR.(1)若f(a)2|1-a|,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)1存在實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)因為f(a)2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|2|1-a|,即(|a|-1)|1-a|0.當a=1時,不等式成立;當a1時,|1-a|0,則|a|-10,解得-1a0(2)結(jié)論(5)結(jié)論矛盾假設(shè)結(jié)論2. (1)(a1b1+a2b2)2【課堂考點探究】例1思路點撥

29、(1)利用基本不等式可得當且僅當=且=且=時,+取得最小值6+2+2+2;(2)利用柯西不等式的特點結(jié)合題意證得結(jié)論即可,注意等號成立的條件.解:(1)x,y,z是正實數(shù),且滿足x+2y+3z=1,+=(x+2y+3z)=6+=6+6+2+2+2,當且僅當=且=且=時取等號,故+的最小值為6+2+2+2.(2)證明:由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),x2+y2+z2,當且僅當x=,即x=,y=,z=時取等號, 故x2+y2+z2.變式題解:(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,則解得(2)證明:由柯西不等式有(+)2=(+1)2()2+12()2+()2=16,所以+4,當且僅當=,即t=1時,等號成立.又(+)2=-3t+12+t+212-2t4(0t4),所以+2,當且僅當t=4時,等號成立.綜上,2+4.例2思路點撥 (1)依據(jù)題設(shè)借助絕對值三角不等式分析求解;(2)借助題設(shè)條件運用基本不等式進行證明.解:(1)|x-2m|-|x|x-2m-x|=|2m|,要