1、第二節(jié)不等式的證明A組基礎(chǔ)題組1.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:(1)ab+bc+ca;(2)+1.2.設(shè)不等式-2|x-1|-|x+2|0的解集為M,a,bM.(1)證明:;(2)比較|1-4ab|與2|a-b|的大小.3.(2017湖南湘中名校聯(lián)考)已知關(guān)于x的不等式|x+a|b的解集為x|2xbcd.求證:+.B組提升題組1.求證:+0,且ab+bc+ca=1.求證:(1)a+b+c;(2)+(+).3.(2017四川成都第二次診斷性檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.(1)求不等式f0的解集;(2)若p,q,r為正實(shí)數(shù),且+=4,求3p+2q+r的最小值.4

2、.已知a是常數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式|x+1|-|2-x|a|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)設(shè)mn0,求證:2m+2n+a.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.證明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)因?yàn)?b2a,+c2b,+a2c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1.2.解析(1)證明:記f(x)=|x-1|-|x+2|,則f(x)=由題意,令-2-2x-10,得

3、-x,則M=.所以|a|+|b|+=.(2)由(1)得a2,b20,所以|1-4ab|24|a-b|2,故|1-4ab|2|a-b|.3.解析(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,則解得a=-3,b=1.(2)利用柯西不等式,可得+=(+)=2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=2時(shí)等號(hào)成立.所以+的最大值為2.4.證明證法一:因?yàn)?a-d)=(a-b)+(b-c)+(c-d)33=9,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c=c-d時(shí)取等號(hào),所以+.證法二:因?yàn)?a-d)=(a-b)+(b-c)+(c-d)+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c=c-d時(shí)取等號(hào),所以+.B組提升題組1.證明因?yàn)?-,所以+1+=1+=2-0,因

4、此要證a+b+c,只需證明(a+b+c)23.即證a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,而ab+bc+ca=1,故只需證明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).即證a2+b2+c2ab+bc+ca.而這可以由ab+bc+ca+=a2+b2+c2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立)證得.所以原不等式成立.(2)+=.在(1)中已證a+b+c,因此要證原不等式成立,只需證明+,即證a+b+c1,因?yàn)閍=,b,c,所以a+b+cab+bc+ca(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立).所以原不等式成立.3.解析(1)f=4-0.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,得+表示點(diǎn)(x,0)到A,B

5、兩點(diǎn)的距離之和.接下來找出到A,B的距離之和為4的點(diǎn).將點(diǎn)A向左移動(dòng)個(gè)單位到點(diǎn)A1(-2,0),這時(shí)有|A1A|+|A1B|=4;同理,將點(diǎn)B向右移動(dòng)個(gè)單位到點(diǎn)B1(2,0),這時(shí)有|B1A|+|B1B|=4.+4,即f0的解集為-2,2.(2)令a1=,a2=,a3=.由柯西不等式,得(+).即(3p+2q+r)9.+=4,3p+2q+r,當(dāng)且僅當(dāng)=,即p=,q=,r=時(shí),取等號(hào).3p+2q+r的最小值為.4.解析(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,則f(x)=f(x)的最大值為3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,|x+1|-|2-x|a都成立,即f(x)a恒成立,a3.令h(x)=|x+1|+|2-x|,則h(x)=h(x)的最小值為3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,|x+1|+|2-x|a都成立,