1、2.3函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱考情考向分析1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識，題型以選擇、填空題為主，中等偏上難度.1奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)2判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進行，一般步驟是(1)考察定義域是否關(guān)于原點對稱(2)考察表達式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x

2、)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，既非奇非偶函數(shù)3周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期知識拓展1函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x

3、|)(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(3)在公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)(2)若f(xa)，則T2a(a0)(3)若f(xa)，則T2a(a0)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點()(2)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱()(3)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周

4、期函數(shù)()(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件()(5)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期()題組二教材改編2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)x(1x)，則f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.3設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1,1)時，f(x)則f_.答案1解析ff4221.4設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當(dāng)x0,5時，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_答案(2,0)(2,5解析由圖像可知，當(dāng)0x2時，f(x)0；當(dāng)2x5時，f(x)0，又f(x)是

5、奇函數(shù)，當(dāng)2x0時，f(x)0，當(dāng)5x0.綜上，f(x)0的解集為(2,0)(2,5題組三易錯自糾5已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()A B. C D.答案B解析依題意得f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab，故選B.6偶函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱，f(3)3，則f(1)_.答案3解析f(x)為偶函數(shù)，f(1)f(1)又f(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱，f(1)f(3)f(1)3.題型一判斷函數(shù)的奇偶性典例 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函數(shù)f(x)的定義域為，f(x)0.f(

6、x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)思維升華 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量

7、關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立跟蹤訓(xùn)練 (1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin x答案D解析對于A，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，為偶函數(shù)；對于C，f(x)2x2xf(x)，為偶函數(shù)；對于D，yx2sin x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故選D.(2)函數(shù)f(x)lg|sin x|是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為2的奇函數(shù)C最小

8、正周期為的偶函數(shù)D最小正周期為2的偶函數(shù)答案C解析易知函數(shù)的定義域為x|xk，kZ，關(guān)于原點對稱，又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，又函數(shù)y|sin x|的最小正周期為，所以函數(shù)f(x)lg|sin x|是最小正周期為的偶函數(shù)題型二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用1若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù)，且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.答案解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以ffffffffsin .2(2017山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.答案

9、6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)6，即f(919)6.3定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.答案339解析f(x6)f(x)，周期T6.當(dāng)3x1時，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，

10、f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1336.又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.思維升華 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題點1求函數(shù)值或函數(shù)解析式典例 (1)(2017全國)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x(，0)時，f(x)2x3x2，則f(2)_.答案12解析方法一令x0，則x0.f(x)2x3x2.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)223

11、2212.方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212.(2)(2016全國改編)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)ex1x，則f(x)_.答案解析當(dāng)x0時，x0，f(x)f(x)ex1x，f(x)命題點2求參數(shù)問題典例 (1)設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則k_.答案2解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，(x2)(xk)(2x)(kx)，x22xkx2k2kkx2xx2，k2.(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1上，f(x)其中a，bR.若f f，則a3b的值為_答案10解析因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff且f(1)f(1)，故ff，從而a1，即3

12、a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，從而a3b10.命題點3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式典例 (1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x20，)(x1x2)，有0，則()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)，故選A.(2)若f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)上是減函數(shù)，又f(2)0，則xf(x)0的解集為_答案(，2)(2，)解析由xf(x)0，得或f(x)為奇函數(shù)，在(，0)上是減函數(shù)，f(2)0，由解得x2，xf(x)0的解集為(，2)(2，

13、)思維升華 (1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題(2)掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)若奇函數(shù)在x0處有意義，則f(0)0.跟蹤訓(xùn)練 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在0，)上是增加的，若f(lg x)0，則x的取值范圍是()A(0,1) B(1,10)C(1，) D(10，)答案A解析由題意，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)0，不等式f(lg x)0f(0)等價于lg x0，故0x1，故選A.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則(

14、)Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)所以f(25)f(80)0時，f(x)1，則當(dāng)x0時，f(x)1，當(dāng)x0，f(x)f

15、(x)(1)，即當(dāng)x0時，f(x)(1)1.9設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；當(dāng)0x1時，f(x)2x1，則ff(1)ff(2)f_.答案解析依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)ff(0)fff(1)f(0)21211201.10若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上是增函數(shù)如果實數(shù)t滿足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范圍是_答案解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(ln t)f，由f(ln t)f2f(1)，得f(ln t)f(1)又函數(shù)f(x)

16、在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.11已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上是增加的，求實數(shù)a的取值范圍解(1)設(shè)x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)于是x0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上是增加的，結(jié)合f(x)的圖像知所以10，f(x2)，對任意xR恒成立，則f(2 019)等于_答案1解析因為f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(2 019)f(50541)f(1)因為函數(shù)f

17、(x)為偶函數(shù)，所以f(2 019)f(1)f(1)當(dāng)x1時，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 019)f(1)1.14設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當(dāng)x0,1時，f(x)2x，則有2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是_答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，則有f(t2)f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故正確；當(dāng)x0,1時，f(x)2x是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，f(x)在1,0上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)，故正確；由知，f(x)在0,2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201且f(x)是周期為2的周期函數(shù)，f(x)的最大值是2，最小值是1，故錯誤15(201