1、13.2綜合法、分析法與反證法最新考綱考情考向分析1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)2.了解反證法的思考過程和特點(diǎn).本節(jié)主要內(nèi)容是直接證明的方法綜合法和分析法，間接證明的方法反證法，它常以立體幾何中的證明及相關(guān)選修內(nèi)容中平面幾何，不等式的證明為載體加以考查，注意提高分析問題、解決問題的能力；在高考中主要以解答題的形式考查，難度中檔.1綜合法(1)定義：從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為綜合法(2)框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理

2、等，Q表示要證明的結(jié)論)2分析法(1)定義：從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為分析法(2)框圖表示：.3反證法我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法反證法的證題步驟是：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)綜合法是直接

3、證明，分析法是間接證明()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab”()(4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾()(5)在解決問題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()(6)證明不等式Q BPQCPQ2，又P0，Q0，PQ.3設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，則等于()A1 B2 C4 D6答案B解析由題意，得x，y，b2ac，xy，2.題組三易錯(cuò)自糾4若a，b，c為實(shí)數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba

4、(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.5用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A解析方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3axb0沒有實(shí)根，故選A.6(2017德州一模)如果A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則A2B2C2是_三角形答案鈍角解析由條件知，A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)A

5、2B2C2是銳角三角形由得那么，A2B2C2，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾所以假設(shè)不成立假設(shè)A2B2C2是直角三角形，不妨設(shè)A2，則cos A1sin A21，A10，矛盾所以A2B2C2是鈍角三角形.題型一綜合法的應(yīng)用1(2018綏化模擬)設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a，b，c()A都大于2 B都小于2C至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于2答案D解析a0，b0，c0，6，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個(gè)不小于2.2(2018大慶質(zhì)檢)如果abab成立，則a，b應(yīng)滿足的條件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()當(dāng)a0，b

6、0且ab時(shí)，()2()0.abab成立的條件是a0，b0且ab.3(2018武漢月考)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.證明a，b，c(0，)， 0， 0， 0.由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，上述三個(gè)不等式中等號不能同時(shí)成立，abc0成立上式兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，得lglg abc，lglglglg alg blg c.思維升華 (1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推

7、理題型二分析法的應(yīng)用典例 (2018長沙模擬)已知函數(shù)f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求證：f(x1)f(x2)f.證明要證f(x1)f(x2)f，即證明(tan x1tan x2)tan ，只需證明tan ，只需證明.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需證明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即證cos(x1x2)f.引申探究若本例中f(x)變?yōu)閒(x)3x2x，試證：對于任意的x1，x2R，均有f

8、.證明要證明f，即證明2，因此只要證明(x1x2)(x1x2)，即證明，因此只要證明，由于當(dāng)x1，x2R時(shí)，0, 0，由基本不等式知顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)，等號成立故原結(jié)論成立思維升華 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利解決的關(guān)鍵(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證跟蹤訓(xùn)練 已知a0，證明： a2.證明要證 a2，只需證 (2)因?yàn)閍0，所以(2)0，所以只需證22，即2(2)84，只需證a2.因?yàn)閍0，a

9、2顯然成立(當(dāng)a1時(shí)等號成立)，所以要證的不等式成立題型三反證法的應(yīng)用命題點(diǎn)1證明否定性命題典例 (2018株州模擬)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列(1)解設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1

10、qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列命題點(diǎn)2證明存在性命題典例 已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由(1)證明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，SA平面ABCD. (2)解假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.這與平面SBC和

11、平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，假設(shè)不成立不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.命題點(diǎn)3證明唯一性命題典例 (2018宜昌模擬)已知M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意f(x)M，方程f(x)x0有實(shí)數(shù)根；函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0f(x)1.(1)判斷函數(shù)f(x)是不是集合M中的元素，并說明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域?yàn)镈，則對于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)x0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根(1)解當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，所以方程f(x)x0有實(shí)數(shù)根0；f(x)，所以f(x)，

12、滿足條件0f(x)1.由可得，函數(shù)f(x)是集合M中的元素(2)證明假設(shè)方程f(x)x0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，()，則f()0，f()0.不妨設(shè)，根據(jù)題意存在c(，)，滿足f()f()()f(c)因?yàn)閒()，f()，且，所以f(c)1.與已知0f(x)1矛盾又f(x)x0有實(shí)數(shù)根，所以方程f(x)x0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根思維升華 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有以下幾個(gè)步驟：第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題

13、pq為真所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知事實(shí)矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果跟蹤訓(xùn)練 若f(x)的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)閍，b(a2)，使函數(shù)h(x)是區(qū)間a，b上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由解(1)由題設(shè)得g(x)(x1)21，其圖像的對稱軸為x1，區(qū)間1，b在對稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間1，b上單調(diào)遞增由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因?yàn)閎1，所以b3.(2)假設(shè)存在常數(shù)a，b (a2)，使函數(shù)h(x)是區(qū)間a，b 上的“四維光軍”函數(shù)，因?yàn)閔(x)在區(qū)

14、間(2，)上單調(diào)遞減，所以有即解得ab，這與已知矛盾故不存在反證法在證明題中的應(yīng)用典例 (12分)(2018衡陽模擬)直線ykxm(m0)與橢圓W：y21相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形思想方法指導(dǎo) 在證明否定性命題，存在性命題，唯一性命題時(shí)?？紤]用反證法證明，應(yīng)用反證法需注意：(1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的(2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多

15、、而反面情況只有一種或較少時(shí)，常采用反證法(3)利用反證法證明時(shí)，一定要回到結(jié)論上去規(guī)范解答(1)解因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，則AC與OB相互垂直平分由于O(0,0)，B(0,1)，所以設(shè)點(diǎn)A，代入橢圓方程得1，則t，故|AC|2.4分(2)證明假設(shè)四邊形OABC為菱形，因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.6分設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，km.所以AC的中點(diǎn)為M.8分因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m0，k0，所以直線OB的斜率為，因?yàn)閗1，所以AC與OB不垂直10分所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是

16、W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形12分1(2018岳陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x，a，b為正實(shí)數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBA答案A解析因?yàn)?，又f(x)x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故ff()f.2分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc，且abc0，求證0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0答案C解析由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.3(2017鄭州模擬)設(shè)x0，P2x2x，Q(sin xcos x)2，則()APQ BP0

17、，所以P2；又(sin xcos x)21sin 2x，而sin 2x1，所以Q2.于是PQ.故選A.4已知p3q32，證明：pq2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2；若a，bR，|a|b|2，故中的假設(shè)錯(cuò)誤；對于，其假設(shè)正確，故選D.5若0，則下列結(jié)論不正確的是()Aa2b2 Babb2Cab|ab|答案D解析ab.a2b2，abb2，ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A BC D答案C解析若a，b，則ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對于，即ab2，則a，b中至少有一個(gè)大于1，下面用反證法證明：假設(shè)a

18、1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1.7用反證法證明命題“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是_答案a，b都不能被5整除8(2018邢臺調(diào)研)與2的大小關(guān)系為_答案2解析要比較與2的大小，只需比較()2與(2)2的大小，只需比較672與854的大小，只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小，4240，2.9已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖像上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖像上的點(diǎn)，其中nN，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_答案cn1cn解析由條件得cnanbnn，則cn隨n的增大而減小，cn1M

19、；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm1，cm2，是等差數(shù)列(1)解c1b1a1110，c2maxb12a1，b22a2max121,3221，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max131,332,5332.當(dāng)n3時(shí)，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0，所以bknak在kN上單調(diào)遞減所以cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n.所以對任意n1，cn1n，于是cn1cn1，所以cn是等差數(shù)列(2)證明設(shè)數(shù)列an和bn的公差分別為d1，d2，則bknakb1(k1)d2a1(k1)d1nb1a1n(d2nd1)(k1)所以cn當(dāng)d10時(shí)，

20、取正整數(shù)m，則當(dāng)nm時(shí)，nd1d2，因此，cnb1a1n，此時(shí)，cm，cm1，cm2，是等差數(shù)列當(dāng)d10時(shí)，對任意n1，cnb1a1n(n1)maxd2，0b1a1(n1)(maxd2，0a1)此時(shí)，c1，c2，c3，cn，是等差數(shù)列當(dāng)d10時(shí)，當(dāng)n時(shí)，有nd1d2，所以n(d1)d1a1d2n(d1)d1a1d2|b1d2|.對任意正數(shù)M，取正整數(shù)mmax，故當(dāng)nm時(shí)，M.13(2018長春模擬)若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_答案解析若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立，則解得p3或p， 故滿足題干要求的p的取值范圍為.14設(shè)x1，y1，證明xyxy.證明由于x1，y1，所以要證明xyxy，只需證xy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因?yàn)閤1，y1，所以(xy