1、2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度.1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，

2、b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增加的增加的增加的增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)xx0時，有l(wèi)ogaxxn0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)上是增加的，在，0)和(0，上是減少的(2)當(dāng)x0時，x時取最小值2，當(dāng)x0時，x時取最大值2.

3、題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)某種商品進(jìn)價為每件100元，按進(jìn)價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利()(2)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(3)不存在x0，使xn01)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxa(a0)的增長速度()(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻()題組二教材改編2某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是()A收入最高值與收入最低值的比是31B結(jié)余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個

4、月的平均收入為40萬元答案D解析由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為(406030305060)45(萬元)，故D錯誤3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為_萬件答案18解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時，L(x

5、)有最大值4用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_答案3解析設(shè)隔墻的長度為x(0x6)，矩形面積為y，則yx2x(6x)2(x3)218，當(dāng)x3時，y最大題組三易錯自糾5國家規(guī)定個人稿費納稅辦法：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11.2%納稅已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個人應(yīng)得稿費(扣稅前)為()A2 800元 B3 000元C3 800元 D3 818元答案C解析由題意，知納稅額y(單位：元)與稿費(扣稅前)x(單位：元)之間的函數(shù)關(guān)系式為y由于此

6、人納稅420元，所以8004 000時，令0.112x420，解得x3 750(舍去)，故這個人應(yīng)得稿費(扣稅前)為3 800元6某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為_答案1解析設(shè)年平均增長率為x，則(1x)2(1p)(1q)，x1.題型一用函數(shù)圖像刻畫變化過程1.高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)vf(h)的大致圖像是()答案B解析vf(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B.2物價上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為

7、盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()答案B解析由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得，曲線上的點的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故函數(shù)的圖像應(yīng)一直是下凸的，故選B.3汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10

8、升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析根據(jù)圖像所給數(shù)據(jù)，逐個驗證選項根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對思維升華 判斷函數(shù)圖像與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先

9、建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖像的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案題型二已知函數(shù)模型的實際問題典例 (1)(2017石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為_分鐘答案3.75解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消

10、去c化簡得解得所以p0.2t21.5t222，所以當(dāng)t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘(2)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時答案24解析由題意得e22k，e11k，x33時，ye33kb(e11k)3eb319219224(小時)思維升華 求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型

11、求解實際問題跟蹤訓(xùn)練 (1)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)1.06(0.5m1)給出，其中m0，m是不超過m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為_元答案4.24解析m6.5，m6，則f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤L(Q)的最大值是_萬元答案2 500解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.則當(dāng)Q300時，L(Q)的最大值為2

12、 500萬元題型三構(gòu)建函數(shù)模型的實際問題命題點1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型典例 (1)某航空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運費y(元)之間的關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費攜帶行李的質(zhì)量最大為_kg.答案19解析由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y30x570，令30x5700，解得x19.(2)將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就要減少20個，為了賺得最大利潤，每個售價應(yīng)定為_元答案95解析設(shè)每個售價定為x元，則利潤y(x80)400(x90)2020(x95)2225當(dāng)x95時，y最大命題點2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)

13、、對數(shù)函數(shù)模型典例 一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0x0)型函數(shù)典例 (1)(2018屆中原名校質(zhì)檢)高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高，當(dāng)教室在第n層樓時，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨教室所在樓層升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)教室在第

14、n層樓時，環(huán)境不滿意度為，則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在()A2樓 B3樓C4樓 D8樓答案B解析由題意知同學(xué)們總的不滿意度yn24，當(dāng)且僅當(dāng)n，即n2時等號成立，又當(dāng)n3時，不滿意度y的值比n2時不滿意度y的取值小，同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在3樓(2)(2017南昌模擬)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于米記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x_.答案2解析由題意可

15、得BC，y26.當(dāng)且僅當(dāng)(2x0，解得x2.3，x為整數(shù)，3x6，xZ.當(dāng)x6時，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，結(jié)合x為整數(shù)得6x20，xZ.y(2)對于y50x115(3x6，xZ)，顯然當(dāng)x6時，ymax185；對于y3x268x11532(6185，當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多思維升華 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制跟蹤訓(xùn)練 (1)一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬

16、元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(xN)件當(dāng)x20時，年銷售總收入為(33xx2)萬元；當(dāng)x20時，年銷售總收入為260萬元記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_，該工廠的年產(chǎn)量為_件時，所得年利潤最大(年利潤年銷售總收入年總投資)答案y(xN)16解析當(dāng)020時，y260100x160x.故y(xN)當(dāng)020時，160x400時，y60 000100x20 000，綜上，當(dāng)門面經(jīng)營的天數(shù)為300時，總利潤最大為25 000元函數(shù)應(yīng)用問題典例 (12分)已知美國某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬

17、部還需另投入16萬美元設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤思維點撥 根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對勾”函數(shù)的最值的結(jié)論規(guī)范解答解(1)當(dāng)040時，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W4分(2)當(dāng)040時，W16x7 360，由于16x21 600，當(dāng)且僅當(dāng)16x，即x50(40，)時，取等號，所以此時W的最大值為5 760.10分綜合知，當(dāng)x32時，

18、W取得最大值6 104萬美元12分解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：(建模)將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：(解模)求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：(還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義；第五步：(反思)對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性1在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2

19、By(x21)Cylog2x Dylogx答案B解析由題中表可知函數(shù)在(0，)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2某家具的標(biāo)價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進(jìn)貨價)，則該家具的進(jìn)貨價是()A118元 B105元 C106元 D108元答案D解析設(shè)進(jìn)貨價為a元，由題意知132(110%)a10%a，解得a108.3國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p0.25)%，則該公司的年收入是()A560萬元 B420萬元C350萬元 D

20、320萬元答案D解析設(shè)該公司的年收入為x萬元(x280)，則有(p0.25)%，解得x320.故該公司的年收入為320萬元4(2018湖南衡陽、長郡中學(xué)等十三校聯(lián)考)某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2017年 B2018年C2019年 D2020年答案D解析設(shè)從2016年起，過了n(nN)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130(112%)n2

21、00，則n3.8，由題意取n4，則n2 0162 020.故選D.5某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A13 m3 B14 m3C18 m3 D26 m3答案A解析設(shè)該職工用水x m3時，繳納的水費為y元，由題意得y則10m(x10)2m16m，解得x13.6某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在

22、兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元 B11萬元C43萬元 D43.025萬元答案C解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.120.1(10.5)232.因為x0,16且xN，所以當(dāng)x10或11時，總利潤取得最大值43萬元7某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k_，經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖為_個答案2ln 21 024解析當(dāng)t0.5時，y2，2，k2ln 2，ye2t

23、ln 2，當(dāng)t5時，ye10ln 22101 024.8“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費者視線的已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系Ra(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為DaA.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費應(yīng)為_(用常數(shù)a表示)答案a2解析令t(t0)，則At2，Datt22a2，當(dāng)ta，即Aa2時，D取得最大值9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.答案20解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y m，則由相似三角形性質(zhì)可得，解得y40x，所以面積Sx(40x)x240x(x20)2400(0x0)

24、(1)如果m2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則22t21t2，當(dāng)5時，2t，令2tx1，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則0x1，所以m2(xx2)，由于xx2，所以m.因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是.12某書商為提高某套叢書的銷售量，準(zhǔn)備舉辦一場展銷會據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價定為x元時，銷售量可達(dá)到150.1x萬套現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進(jìn)行價格

25、改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤售價供貨價格，問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？解(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為150.11005(萬套)，此時每套供貨價格為3032(元)，書商所獲得的總利潤為5(10032)340(萬元)(2)每套叢書售價定為x元時，由解得0x150.依題意，單套叢書利潤Pxx30，所以P120.因為0x0，則(150x)2 21

26、020，當(dāng)且僅當(dāng)150x，即x140時等號成立，此時，Pmax20120100.所以每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元13已知某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房當(dāng)每套公寓房月租金定為3 000元時，這70套公寓房能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會多一套房子不能出租設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應(yīng)定為_元答案3 300解析由題意，設(shè)利潤為y元，每套房月租金定為3 00050x元(0x70，xN)，則y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x)50(58x)(70x)502204 800，當(dāng)且僅當(dāng)58x70x，即x6時，等號成立，故當(dāng)每套房租金定為3 0005063 300元時，可使公司獲得最大