1、第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的期望與方差,1期望 (1)概念 若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 則稱E 為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 ,x1p1x2p2xnpn,平均水平,(2)性質(zhì) E(C) (C為常數(shù)) 若是隨機(jī)變量，ab，則E(ab) . (3)E是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量的是可變的，可取不同的值，而E是不變的，它描述取值的平均狀態(tài),aEb,C,2方差 (1)概念 如果離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取這些值的概率分別是p1，p2，pn，設(shè)E是隨機(jī)變量的期望，那么把D 叫做隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱 的算術(shù)平方根叫做隨

2、機(jī)變量的 ，記作 .隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的 的程度其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有 ,(x1E)2p1,(x2E)2p2(xnE)2pn,方差,標(biāo)準(zhǔn)差,穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散,相同的單位,(2)性質(zhì) D(C)0(C為常數(shù)) D(ab) . 3二項(xiàng)分布與幾何分布的期望與方差 (1)二項(xiàng)分布 若B(n，p)，則E ，D (2)幾何分布 若服從幾何分布，則P(k)g(k，p)，,a2D,np,np(1p),E ，D .,1隨機(jī)變量的分布列如下表，則的數(shù)學(xué)期望是 () A.2.0 B2.1 C2.2 D隨m的變化而變化,解析：0.20.5m1， m0.3， E10.220.530.32

3、.1， 故選B. 答案：B,2今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為，則E等于 () A0.765 B1.75 C1.765 D0.22 解析：的可能取值為0,1,2， P(0)0.10.150.015， P(1)0.90.150.10.850.22， P(2)0.90.850.765， E0.2210.76521.75. 答案：B,3某網(wǎng)絡(luò)公司擁有100臺(tái)電腦，每臺(tái)電腦每天出現(xiàn)故障的概率均為0.015，且電腦之間的工作是相互獨(dú)立的，則一天該公司出現(xiàn)故障的電腦臺(tái)數(shù)的期望與方差分別為_(kāi)、_. 解析：電腦臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布B(100,0

4、.015)， 的期望為E1000.0151.5， 方差D1000.015(10.015)1.4775. 答案：1.51.4775,4一射手打靶射擊，直到第一次中靶為止他每次射擊中靶的概率是0.9，他有3顆子彈，射擊結(jié)束后剩余子彈數(shù)目的數(shù)學(xué)期望E_. 解析：P(2)0.9，P(1)0.10.90.09， P(0)0.130.120.90.01， 由此可得E20.910.0900.011.89. 答案：1.89,例1(2009廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表若EX0，DX1，則a_，b_. 分析根據(jù)隨機(jī)變量概率分布列的性質(zhì)、期望和方差的計(jì)算公式，通過(guò)建立方程組解答,拓展提升解本題要使用

5、概率分布列的性質(zhì)、期望和方差的計(jì)算公式，在解題時(shí)一定要保證所使用的知識(shí)準(zhǔn)確，這是正確解題的前提解本題三個(gè)方程得出結(jié)果后要注意檢驗(yàn),例2某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為： 12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn),()求事件A：“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； ()求的分布列及期望E. 分析(1)先求對(duì)立事件的概率P()； (2)的可能取值200,250,300，利用互斥事件的概率加法

6、公式求概率,(2)的可能取值為200元，250元，300元 P(200)P(1)0.4， P(250)P(2)P(3)0.20.20.4， P(300)1P(200)P(250) 10.40.40.2， 的分布列為： E 2000.42500.43000.2240(元),拓展提升(1)利用對(duì)立事件的概率求原事件的概率是求概率的常用方法之一(間接法)； (2)求數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵是求分布列，求分布列的關(guān)鍵是求概率,某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為. (1)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率； (2)求的分布列； (3)求的數(shù)學(xué)期望E

7、.,解：(1)該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率為： pP(兩次都命中7環(huán))0.20.20.04. (2)P(m)P(一次命中m環(huán)，另一次命中的環(huán)數(shù)小于m)P(兩次命中m環(huán))， P(06)200000， P(7)20.200.20.20.04， P(8)20.30.20.30.30.21， P(9)20.3(0.20.3)0.30.30.39， P(10)20.2(0.20.30.3)0.20.20.36.,故的分布列為： (3)的數(shù)學(xué)期望 E70.0480.2190.39100.369.07.,例3某一大學(xué)畢業(yè)生參加某一公司的筆試，共有5個(gè)問(wèn)題需要解答，如該同學(xué)答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率均為 ，且每個(gè)問(wèn)題

8、的解答互不影響 (1)求該同學(xué)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)的期望與方差； (2)設(shè)答對(duì)一個(gè)題目得10分，否則扣一分，求該同學(xué)得分的期望與方差 分析解答該5個(gè)問(wèn)題可以認(rèn)為是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，求的期望與方差可通過(guò)與的線性關(guān)系間接求出,拓展提升(1)當(dāng)求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，可首先分析是否服從二項(xiàng)分布，如果服從，則用公式求解，可大大減少運(yùn)算量 (2)注意利用E(ab)aEb及D(ab)a2D求期望與方差,某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過(guò)第一次燒制后，甲、乙、

9、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.經(jīng)過(guò)第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率為0.6,0.5,0.75. (1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率； (2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望,從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從方差考察甲較穩(wěn)定從至少完成2題的概率考察，甲通過(guò)的可能性大因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng),(2)設(shè)表示10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的收益，則的分布列為：,1離散型隨機(jī)變量的期望和方差 求離散型隨機(jī)變量期望和方差的方法： (1)定義法：寫出隨機(jī)變量的分布列，用期望和方差的定義求解 (2)性質(zhì)法：利用性質(zhì)：E(ab)aEb D(ab)a2D求解； (3)公式法：利用兩點(diǎn)