1、10.3拋物線及其性質(zhì)考綱解讀考點考綱內(nèi)容要求浙江省五年高考統(tǒng)計201320142015201620171.拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.掌握15,4分22(文),約5分22(文),約5分9,4分19(1)(文),6分15,約4分2.拋物線的幾何性質(zhì)1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.掌握22(文),約5分22(文),約6分5,5分20(文),約7分19(2)(文),9分15,約6分分析解讀1.考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).2.考查直線與拋物線的位置關(guān)系

2、,以及與拋物線有關(guān)的綜合問題.3.預(yù)計2019年高考中,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)仍將被考查.五年高考考點一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(2013課標(biāo)全國,11,5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C2.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.答案93.(2017課標(biāo)全國理,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM

3、的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=.答案64.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p=.答案25.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F兩點,則=.答案1+考點二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2015浙江,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.答案A2.(2016課標(biāo)全國,10,5分)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩

4、點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.8答案B3.(2017山東理,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.答案y=x4.(2016浙江文,19,15分)如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直線AF交拋物線于另一點B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M.求M的橫坐標(biāo)的取

5、值范圍.解析(1)由題意可得,拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=-1的距離,由拋物線的定義得=1,即p=2.(2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t0,t1.因為AF不垂直于y軸,可設(shè)直線AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直線AB的斜率為,故直線FN的斜率為-.從而得直線FN:y=-(x-1),直線BN:y=-.所以N.設(shè)M(m,0),由A,M,N三點共線得=,于是m=.所以m2.經(jīng)檢驗,m2滿足題意.綜上,點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-,0)(2,+).5.(2014浙江文,22,14分)

6、已知ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,=3.(1)若|=3,求點M的坐標(biāo);(2)求ABP面積的最大值.解析(1)由題意知焦點F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分別得M或M.(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,

7、2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f,所以,當(dāng)m=時, f(m)取到最大值,此時k=.所以,ABP面積的最大值為.6.(2013浙江文,22,14分)已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).(1)求拋物線C的方程;(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.解析(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p0),則=1,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2

8、=4k,x1x2=-4.從而|x1-x2|=4.由解得點M的橫坐標(biāo)xM=.同理點N的橫坐標(biāo)xN=.所以|MN|=|xM-xN|=8=.令4k-3=t,t0,則k=.當(dāng)t0時,|MN|=22.當(dāng)t0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.解析(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設(shè)得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)(2)依題

9、意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從

10、而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)教師用書專用(910)9.(2013安徽,13,5分)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點.若該拋物線上存在點C,使得ACB為直角,則a的取值范圍為.答案1,+)10.(2013江西,14,5分)拋物線x2=2py(p0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線-=1相交于A,B兩點,若ABF為等邊三角形,則p=.答案6三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(2017浙江“超級全能生”聯(lián)考(3月),4)

11、設(shè)拋物線的頂點在原點,焦點在x軸上,若拋物線上的點A(-1,a)與焦點F的距離為2,則a=()A.4B.4或-4C. -2D.-2或2答案D2.(2017浙江杭州二模(4月),7)設(shè)傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p0)的焦點F,與拋物線C交于A,B兩點,設(shè)點A在x軸上方,點B在x軸下方.若=m,則cos 的值為()A.B.C.D.答案A3.(2018浙江名校協(xié)作體期初,15)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若=,則|=.答案54.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考(4月),11)已知拋物線y2=-2px過點M(-2,2),則p=,準(zhǔn)線方程是.

12、答案1;x=5.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,19)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:x2=2py的焦點為F(0,1),過O作斜率為k(k0)的直線l交拋物線于A(異于O點),已知D(0,5),直線AD交拋物線于另一點B.(1)求拋物線C的方程;(2)若OABF,求k的值.解析(1)由題意知,=1,所以p=2,所以拋物線C:x2=4y.(6分)(2)由題意知,直線OA:y=kx,將其代入拋物線方程:x2=4y中,消去y,得x2-4kx=0,則A(4k,4k2).(8分)直線AB:y=x+5,直線BF:y=-x+1,(10分)聯(lián)立可解得B. (12分)又因為B在拋物線C上,則=4,(13分)

13、得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=.(15分)考點二拋物線的幾何性質(zhì)6.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,6)已知拋物線y2=4x的焦點為F,O為原點,若M是拋物線上的動點,則的最大值為()A.B.C.D.答案C7.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷(五),12)已知拋物線x2=4y,則該拋物線的焦點坐標(biāo)是;過焦點斜率為1的直線與拋物線交于P,Q兩點,則|PQ|=.答案(0,1);88.(2016浙江寧波二模,19)在“2016”的Logo設(shè)計中,有這樣一個圖案:.其由線段l、拋物線弧E及圓C三部分組成.對其進(jìn)行代數(shù)化的分析,如圖建系,發(fā)現(xiàn):圓C方程為(x-4)2+y2=16,拋物線弧E:y2=2

14、px(p0,y0,0x8),若圓心C恰為拋物線y2=2px的焦點,線段l所在的直線恰為拋物線y2=2px的準(zhǔn)線.(1)求p的值及線段l所在的直線方程;(2)P為圓C上的任意一點,過P作圓的切線交拋物線弧E于A、B兩點,問是否存在這樣的點P,使得弦AB在l上的投影的長度與圓C的直徑之比為43?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解析(1)由題意易得p=8,線段l所在直線方程為x=-4.(5分)(2)假設(shè)存在這樣的P點,設(shè)P(x0,y0)(0x08),則切線方程為(x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分)將其與拋物線方程y2=16x聯(lián)立,顯然x04,y00.整理得y2+y0y-4x0=

15、0,(9分)設(shè)點A、B在l上的投影分別為M,N.由題意可得|MN|=|yA-yB|=,解得x0=1(x0=16舍去).此時P(1,),則yA,B=(2),(11分)因為拋物線弧的右上端點坐標(biāo)為(8,8),且(+2)8,故此時的P不滿足條件,即這樣的P點不存在.(15分)B組20162018年模擬提升題組一、選擇題 1.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(3月),7)已知拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,過點M(p,0)的直線交拋物線于A,B兩點,若=2,則=()A.2B.C.D.與p有關(guān)答案B二、填空題2.(2017浙江名校(鎮(zhèn)海中學(xué))交流卷二,13)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,P,R為拋物線上

16、的點,若|PF|=4,則點P的坐標(biāo)是;若直線RF與拋物線的另一交點為Q,且RQO(O為坐標(biāo)原點)的重心在直線y=x上,則直線RF的斜率是.答案(3,2);2或13.(2017浙江臺州4月調(diào)研卷(一模),15)過拋物線y2=4x的焦點F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A,B,C三點,若=4,則|=.答案4.(2017浙江名校新高考研究聯(lián)盟測試一,11)已知拋物線C:y2=2x,若C上的點M到焦點F的距離為,則OFM的面積是.答案1三、解答題5.(2018浙江名校協(xié)作體期初,21)如圖,已知拋物線C1:x2=2py的焦點在拋物線C2:y=x2+1上,點P是拋物線C1上的動點.(1)求拋物線C1的方程

17、及其準(zhǔn)線方程;(2)過點P作拋物線C2的兩條切線,A、B為兩個切點,求PAB面積的最小值.解析(1)C1的方程為x2=4y,(3分)其準(zhǔn)線方程為y=-1.(5分)(2)設(shè)P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA的方程:y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2+y1,又y1=+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切線PB的方程為y=2x2x+2-y2,又切線PA和PB都過P點,所以所以直線AB的方程為4tx-y+2-t2=0.(9分)聯(lián)立得x2-4tx+t2-1=0,所以所以|AB|=|x1-x2|=.(11分)點P到直線AB的距離d=.(13分)所以PAB的面

18、積S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1,所以當(dāng)t=0時,S取得最小值,為2.即PAB面積的最小值為2.(15分)6.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,21)設(shè)拋物線C:x2=2py(p0)的焦點為F,直線l過點F,且與C交于M,N兩點.(1)當(dāng)l與y軸垂直時,OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點),求此時拋物線C的方程;(2)過M,N分別作拋物線C的兩條切線交于點P,當(dāng)直線l變化時,證明:P點在一條定直線上,并且以MP為直徑的圓過定點.解析(1)當(dāng)直線l與y軸垂直時,|MN|=2p,SOMN=2p=2,因此p=2,所以此時拋物線C的方程為x2=4y.(4分)(2)證明:由題意知,直

19、線l的斜率必存在,設(shè)l的方程為y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),P(xP,yP).由x2=2py,得y=x2,所以y=x,所以切線PM的斜率為x1,PM的方程為y-y1=x1(x-x1),即x1x=p(y1+y).同理,PN的方程為x2x=p(y2+y).聯(lián)立消去x,得y=-,故點P的縱坐標(biāo)為定值,所以點P在定直線y=-,即拋物線的準(zhǔn)線上.(12分)把yP=-代入x1x=p(y1+y),得xP=pk,所以P,又因為F,所以kPF=-.于是PFMN,亦即PFM=90,所以以PM為直徑的圓過定點F.(15分)C組20162018年模擬方法題組方法1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的解題策略 1.(2017浙江名校協(xié)作體期初,9)雙曲線C:-y2=1的漸近線方程是;若拋物線y2=2px(p0)的焦點與雙曲線C的一個焦點重合,則p=.答案y=x;42.(2016浙江嘉興第一中學(xué)能力測試,20)已知拋物線x2=2py(p0)與直線3x-2y+1=0交于A,B兩點,|AB|=,點M在拋物線上,MAMB.(1)求p的值;(2)求點M的坐標(biāo).解析(1)將y=x+代入x2=2py,得x2-3px-p=0,由|AB|=及p0得p=.(2)由(1)得A(1,2),B,拋物線方程為y=2x2.設(shè)點M(x0,y0),由MAMB得=0,即(x0-1)+(y0-2)=0,將