1、Thursday, July 30, 2020,1,5.4 奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù),Thursday, July 30, 2020,2,主要內(nèi)容 幅角定理 奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在、 型系統(tǒng)中的應(yīng)用 在波德圖或尼柯?tīng)査箞D上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。,Thursday, July 30, 2020,3,一、幅角定理：,設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，其中：為前向通道傳遞函數(shù)， 為反饋通道傳遞函數(shù)。,閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，如下圖所示：,令：,Thurs

2、day, July 30, 2020,4,顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫(xiě)成以下形式：,。式中， 為F(s)的零、極點(diǎn)。,Thursday, July 30, 2020,5,F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn) 都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn) ， 稱為 在F(s)平面上的映射。,同樣，對(duì)于s平面上任意一條不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線 ，也可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線 （為 的映射）。,例輔助方程為： ，則s平面上 點(diǎn)（-1，j1），映射 到F(s)平

3、面上的點(diǎn) 為（0，-j1）,見(jiàn)下圖：,Thursday, July 30, 2020,6,同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上 曲線 映射到F(s)平面的曲線為 ，如下圖：,曲線 是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線 包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。,再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若 順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則 不包圍原點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若 順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則 包圍原點(diǎn)且順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。,這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。,Thursday, July 30, 2020,7,柯西幅角定理：s平面上不通過(guò)F(s)任何

4、奇異點(diǎn)的封閉曲線 包圍s平面上F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線 移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線 將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。,若N為正，表示 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；,若N為0， 不包圍原點(diǎn)；,若N為負(fù)，表示 逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。,Thursday, July 30, 2020,8,二、奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)：,對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程 ，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，

5、則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,我們這里是應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開(kāi)環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：,如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為： 當(dāng)已知開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,Thursday, July 30, 2020,9,這里需要解決兩個(gè)問(wèn)題： 1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？ 2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性 相聯(lián)系？,它可分為三部分：部分是正虛軸， 部分是右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓； ；部分是負(fù)虛

6、軸， 。,第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蜃鲆粭l曲線 包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈圭斯特路徑。如下圖：,Thursday, July 30, 2020,10,F(s)平面上的映射是這樣得到的：以 代入F(s)并令 從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 從 ，得第三部分 的映射。稍后將介紹具體求法。,得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。,第2個(gè)問(wèn)題：輔助方程與開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為 ， 為開(kāi)環(huán)頻

7、率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：,Thursday, July 30, 2020,11,F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于 對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與 對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。,奈圭斯特路徑的第部分的映射是 曲線向右移1；第部分的映射對(duì)應(yīng) ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。,F(s)的極點(diǎn)就是 的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是 在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。,由 可求得 ，而 是開(kāi)環(huán)頻率特性。一般在 中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng) 時(shí)， ，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第部分）,Thursday, July 30, 2

8、020,12,Thursday, July 30, 2020,13,根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈圭斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)。,奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有 個(gè)極點(diǎn)，且開(kāi)環(huán)頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N0順時(shí)針，N0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為： 。若 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 在右半 s平面上的極點(diǎn)數(shù)為 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：在 平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線極其映射當(dāng) 從 變化到 時(shí)，將以逆時(shí)針

9、的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn) 圈。對(duì)于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況， ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開(kāi)環(huán)頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點(diǎn)。不穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為： 。,Thursday, July 30, 2020,14,例5-6開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Thursday, July 30, 2020,15,例5-7設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為-1， -1 j2，都在

10、s左半平面，所以 。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞 (-1,j2)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,Thursday, July 30, 2020,16,解：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為 ，圓心在 的圓。顯然，k1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,由圖中看出：當(dāng)k1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Thursday, July 30, 2020,17,當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,當(dāng)k1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0， ，所以 ，閉環(huán)系

11、統(tǒng)不穩(wěn)定。,上面討論的奈圭斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對(duì)于、型的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問(wèn)題，需要重構(gòu)奈圭斯特路徑。,Thursday, July 30, 2020,18,三、奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應(yīng)用：,具有開(kāi)環(huán)0極點(diǎn)系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,可見(jiàn)，在原點(diǎn)有 重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)， 不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（通過(guò)虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)

12、為圓心，半徑為無(wú)窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：,Thursday, July 30, 2020,19,部分：正虛軸， ，部分為半徑為無(wú)窮大的右半圓 ；部分負(fù)虛軸， ，部分為半徑為無(wú)窮小的右半圓，,下面討論對(duì)于這種奈圭斯特路徑的映射 ：,1、第和第部分：常規(guī)的奈氏圖 ，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱； 2、第部分： ， 。假設(shè) 的分母階數(shù)比分子階數(shù)高； 3、第部分： (a)對(duì)于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn) 代入 中得：,Thursday, July 30, 2020,20,(b)對(duì)于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn) 代入 中得：,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個(gè)圓（順時(shí)針）。,所以這一段的映

13、射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,Thursday, July 30, 2020,21,結(jié)論用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于、型系統(tǒng)。,例5-9設(shè)型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫(huà)出完整的映射曲線。,從圖上看出：映射曲線未包圍(-1,j0) ，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Thursday, July 30, 2020,22,例5-10某型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無(wú)極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：首先畫(huà)出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：,從圖上可以看出：映

14、射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,Thursday, July 30, 2020,23,特殊情況：1、若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的改變。如下圖：,以極點(diǎn)為圓心，做半徑為無(wú)窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過(guò)虛軸上極點(diǎn)（確保滿足柯西幅角定理?xiàng)l件），但仍能包圍整個(gè)s右半平面。映射情況，由于較復(fù)雜，略。,2、如果開(kāi)環(huán)頻率特性曲線通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)。,Thursday, July 30, 2020,24,通常，只畫(huà)出 的開(kāi)環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為： 。式中， 為 變化時(shí)，

15、開(kāi)環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。,對(duì)應(yīng)的奈圭斯特路徑分別為：,Thursday, July 30, 2020,25,這時(shí)奈圭斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 從 時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸 段的正負(fù)穿越次數(shù)差為 。,頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來(lái)表示。當(dāng) 增加時(shí)，頻率特性從上半s平面穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的 段到下半s平面，稱為頻率特性對(duì)負(fù)實(shí)軸的 段的正穿越（這時(shí)隨著 的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。,若頻率特性曲線起始或終止實(shí)軸 ，則算作1/

16、2次穿越,Thursday, July 30, 2020,26,四、在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 1、 奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。 2、 奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。,奈氏圖頻率特性曲線在 上的正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上 的范圍內(nèi)，當(dāng) 增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過(guò)-180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?。反之稱為負(fù)穿越。,Thursday, July 30, 2020,27,對(duì)照?qǐng)D如下：,正穿越,負(fù)穿越,相角方向?yàn)檎?增加時(shí)， 相角增大,對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：,設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性 在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性 的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為： ，式中 為正負(fù)穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,Thursday, July 30, 2020,28,五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：,開(kāi)環(huán)頻率特性 在s右半平面無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：奈氏圖