1、線性代數(shù),數(shù)學與信息學院 柏欽璽,第4章 矩陣的特征值,工程技術中的一些問題 如振動問題和穩(wěn)定性問題 以及一些離散的動態(tài)系統(tǒng)問題（可以參閱4.5）可歸結為求一個方陣的特征值和特征向量的問題 數(shù)學中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題 也都要用到特征值的理論 與矩陣之間的等價關系類似，我們要討論了矩陣之間的相似關系以及把一個方陣化為對角陣的問題,4.1 向量的內積、長度及正交性 4.2 方陣的特征值與特征向量 4.3 相似矩陣 4.4 實對稱矩陣的對角化 第4章 習題課,第4章 矩陣的特征值,4.2 方陣的特征值與特征向量,一、特征值與特征向量的概念 二、特征值與特征向量的求法 三、特征值與特征

2、向量的性質,線性變換,線性變換,P37:,提示：,定義 設A是n階矩陣 如果數(shù)和n維非零列向量x 使 Ax x 那么 數(shù) 稱為方陣A的特征值 非零列向量x 稱為方陣A的對應于特征值的特征向量,Axx (AE)x0 齊次線性方程組(AE)x0有非零解|AE|0,一、特征值與特征向量的概念,注 (1) 特征向量x0, 特征值問題是針對方陣而言的. (2) 由Ax x 知, A作用非零向量 x 后 x x, 即 x 變?yōu)樵瓉淼?倍.,伸縮變換 y=Ax， 對向量x的伸縮量 就是A的特征值。,特征值的求法 |AE|0的根，就是方陣A的特征值.,特征多項式與特征方程 設A為n階方陣 則稱的n次多項式f(

3、)|AE|為方陣A的特征多項式 稱|AE|0為方陣A的特征方程,二、特征值與特征向量的求法,特征向量的求法 齊次線性方程組(AE)x0的非零解x， 就是方陣A的對應于特征值的特征向量,提示：,Axx (AE)x0 齊次線性方程組(AE)x0有非零解|AE|0,特征值的求法 |AE|0的根，就是方陣A的特征值.,特征值與特征向量的求解步驟 設A為n階方陣 (1) |AE|0 = A的特征值i .,二、特征值與特征向量的求法,特征向量的求法 齊次線性方程組(AE)x0的非零解 x， 就是方陣A的對應于特征值的特征向量,(2) (AiE)x0 = 非零解 x =pi 就是A的對應于特征值i的特征向量

4、.,特征值的求法 |AE|0的根，就是方陣A的特征值.,二、特征值與特征向量的求法,特征向量的求法 齊次線性方程組(AE)x0的非零解x， 就是方陣A的對應于特征值的特征向量,特征值的求法 | E A|0的根，就是方陣A的特征值.,| E A|,|AE|,(1)n,設A為n階方陣,例4.2.1 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征多項式為,所以A的特征值為12 231,得基礎解系p1(0 0 1)T,對于12 解方程(A2E)x0即,所以kp1(k0)是對應于12的全部特征向量,解,A的特征多項式為,所以A的特征值為12 231,得基礎解系p2(12 1)T,得基礎解系p1(0 0 1)T

5、,對于12 解方程(A2E)x0,所以k1 p1(k1 0)是對應于12的全部特征向量,對于231 解方程(AE)x0,所以k2 p2(k2 0)是對應于231的全部特征向量,例4.2.1 求矩陣 的特征值和特征向量,例4.2.2 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征多項式為,所以A的特征值為11 232,得基礎解系,得基礎解系p1(1 0 1)T,對于11 解方程(AE)x0,所以對應于11的全部特征向量為kp1(k0),對于232 解方程(A2E)x0,所以對應于232的全部特征向量為k2p2k3p3(k2,k3不同時為0),p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T,性質4.2.1

6、設n階矩陣A與它的轉置矩陣AT 有相同的特征多項式， 自然有相同的特征值.,三、特征值與特征向量的性質,性質4.2.2 設n階矩陣A(aij)的特征值為1 2 n 則 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,證 |AT E|,= |A E|.,= | ( A E)T|,= |AT (E)T|,性質4.2.1 設n階矩陣A與它的轉置矩陣AT 有相同的特征多項式， 自然有相同的特征值. 證 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.,三、特征值與特征向量的性質,性質4.2.2 設n階矩陣A(aij)的特征值為1 2 n 則 (1)12 na11a2

7、2 ann (2)12 n|A|,注: A的所有特征值的和,稱為A的跡,記作tr(A).,(2008,數(shù)學2） 設3階矩陣A的特征值為 , 2 , 3, 若|2A|= 48，則 =_.,三、特征值與特征向量的性質,性質4.2.2 設n階矩陣A(aij)的特征值為1 2 n 則 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,注: A的所有特征值的和,稱為A的跡,記作tr(A).,例4.2.3 方陣A是奇異矩陣方陣A至少有一個特征值是0.,方陣A是可逆矩陣方陣A沒有0 特征值.,0|A|,|A 0E |,1,例4.2.4 設是方陣A的特征值 證明 (1)2是A2的特征值 (2) k +

8、 l 是 k A+l E的特征值, 其中k ,l為實數(shù) (3)若A可逆,則 1是 A1的特征值,證,因為是A的特征值,故有p0,使App,于是,(1)A2p,2p,(Ap),A(p),A(Ap),所以2是A2的特征值,且p是A2的對應于特征值2的特征向量,因為p0 知0,有pA1p,由App,(3)當A可逆時,(2) (k A+l E) p, k A p +l E p,所以k + l 是 k A+l E的特征值, 且p是k A+l E的對應于特征值k + l的特征向量, k p +l p, (k +l)p,有A1p 1p ,所以1是 A1的特征值,且p是A1的對應于特征值1的特征向量,例4.2

9、.4 設是方陣A的特征值 證明 (1)2是A2的特征值 (2) k + l 是 k A+l E的特征值, 其中k ,l為實數(shù) (3)若A可逆,則 1是 A1的特征值,按上面的結果類推 不難證明 若是方陣A的特征值 則 k 是 Ak 的特征值 ()是(A)的特征值; 其中 (A)a0Ea1A amAm是方陣A的多項式 ()a0 a1 amm是 的多項式 ,(4) k 是 Ak 的特征值 (5) ()是(A)的特征值; 其中 (A)a0Ea1A amAm是方陣A的多項式 ()a0 a1 amm是 的多項式 ,性質4.2.3 設是方陣A的特征值 則 (1)2是A2的特征值 (2) k + l 是 k

10、 A+l E的特征值, 其中k ,l為實數(shù) (3)若A可逆,則 1是 A1的特征值,三、特征值與特征向量的性質,(2008,數(shù)學2） 設3階矩陣A的特征值為 , 2 , 3, 若|2A|= 48，則 =_.,例4.2.5 設3階矩陣A的特征值為1 1 2 求|3A2E|,解,記(A) =3A2E,故(A)的特征值為,有() =32,(1)312=1, 20,1 (5)4,于是 |3A2E|,若是A的特征值 則k是Ak的特征值 ()是(A)的特征值(其中()是的多項式 (A)是方陣A的多項式),(2) 322=4,(1) 3(1)2= 5,性質4.2.4 設1 2 m是方陣A的m個不同特征值 p

11、1 p2 pm依次是與之對應的特征向量 則p1 p2 pm線性無關,即 方陣A的對應于不同特征值的特征向量線性無關,三、特征值與特征向量的性質,例4.2.6 設1和2是矩陣A的兩個不同的特征值 對應的特征向量依次為a1和a2 證明a1 a2不是A的特征向量,用反證法 假設a1 a2是A的特征向量 則應存在數(shù) 使 A(a1 a2)(a1a2) 于是,證,按題設 有Aa11a1 Aa22a2 故,Aa1Aa21a12a2,即(1) a1(2) a20,(a1a2) 1a12a2 ,因此a1 a2不是A的特征向量,與題設矛盾,即12,120,故由上式得,則 a1 a2線性無關,因為12,注: 可以證

12、明k1a1k2a2 (k1k20 )不是A的特征向量.,A(a1a2),例4.2.6 設1和2是矩陣A的兩個不同的特征值 對應的特征向量依次為a1和a2 證明a1 a2不是A的特征向量,注: 可以證明k1a1k2a2 (k1k20 )不是A的特征向量.,a1,a2,k1a1,k2a2,k1a1k2a2 (k1k20 ),2011,數(shù)學1,2,3,2011,數(shù)學1,2,3,特征值與特征向量的定義 設A是n階矩陣 如果數(shù)和n維非零列向量x使成立 Ax x 那么 數(shù) 稱為方陣A的特征值 非零向量x 稱為方陣A的對應于特征值的特征向量,小結,特征值與特征向量的求法 設A為n階方陣 (1) |AE|0 = A的特征值i .,(2) (AiE)x0 = 非零解 x =pi 就是A的對應于特征值i的特征向量.,性質1.1 設n階矩陣A與AT 有相同的特征值.,性質1.2 設n階矩陣A(aij)的特征值為1 2 n 則 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,特征值與特征向量的性質,小結,性質1.3 設是方陣A的特征值 則 (1)2是A2的特