1、13.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用1在經(jīng)濟(jì)生活中，為使經(jīng)營利潤最大、生產(chǎn)效率最高，或?yàn)槭褂昧ψ钍?、用料最少、消耗最省等，需要尋求相?yīng)的最佳方案或最佳策略這些都是最優(yōu)化問題2求實(shí)際問題的最大(小)值，導(dǎo)數(shù)是解決方法之一要建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值情境導(dǎo)學(xué)生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)

2、化問題探究點(diǎn)一面積、體積的最值問題思考如何利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題？答(1)函數(shù)建模，細(xì)致分析實(shí)際問題中各個量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)確定定義域，一定要從問題的實(shí)際意義去考察，舍去沒有實(shí)際意義的變量的范圍(3)求最值，此處盡量使用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值(4)下結(jié)論，回扣題目，給出圓滿的答案例1學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？解設(shè)版

3、心的高為x dm，則版心的寬為 dm，此時四周空白面積為S(x)(x4)1282x8，x0.求導(dǎo)數(shù)，得S(x)2.令S(x)20，解得x16(x16舍去)于是寬為8.當(dāng)x(0,16)時，S(x)0.因此，x16是函數(shù)S(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)所以，當(dāng)版心高為16 dm，寬為8 dm時，能使海報四周空白面積最小反思與感悟(1)在求最值時，往往建立函數(shù)關(guān)系式，若問題中給出的量較多時，一定要通過建立各個量之間的關(guān)系，通過消元法達(dá)到建立函數(shù)關(guān)系式的目的(2)在列函數(shù)關(guān)系式時，要注意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以

4、利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為_米答案32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，設(shè)場地寬為x米，則長為米，因此新墻壁總長度L2x(x0)，則L2.令L0，得x16.x0，x16.當(dāng)x16時，Lmin64，此時堆料場的長為32(米)探究點(diǎn)二利潤最大問題例2某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.則瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？解由于瓶子的

5、半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是yf(r)0.2r30.8r20.8，0r6.令f(r)0.8(r22r)0.當(dāng)r2時，f(r)0.當(dāng)r(0,2)時，f(r)0.因此，當(dāng)半徑r2時，f(r)0，它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；半徑r2時，f(r)0，它表示f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低半徑為2 cm時，利潤最小，這時f(2)0，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值半徑為6 cm時，利潤最大反思與感悟解決此類有關(guān)利潤的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有：(1)利潤收入成本；(2)利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)跟蹤訓(xùn)練2某商場

6、銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因?yàn)閤5時，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)x變化時，f(x)，f(

7、x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以，當(dāng)x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大探究點(diǎn)三費(fèi)用(用材)最省問題例3已知A、B兩地相距200 km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(80)，則y1kv2，當(dāng)v12時，y1720，720k122，得k5.設(shè)全程燃料費(fèi)為y，由題意，得yy1，y.令y0，得v16，當(dāng)v016，即v16 km/h時全程燃料費(fèi)最省

8、，ymin32 000(元)；當(dāng)v016，即v(8，v0時，y0，即y在(8，v0上為減函數(shù)，當(dāng)vv0時，ymin(元)綜上，當(dāng)v016時，v16 km/h全程燃料費(fèi)最省，為32 000元；當(dāng)v00)，解得y2(0xr)所以S(2x2r)22(xr)，其定義域?yàn)閤|0xr(2)記f(x)4(xr)2(r2x2)，0xr，則f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得xr，或xr(舍去)因?yàn)楫?dāng)0x0；當(dāng)rxr時，f(x)0)已知貸款的利率為0.048 6，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去設(shè)存款利率為x，x(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.016 2 B0.0

9、32 4C0.024 3 D0.048 6答案B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以銀行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，則y0.097 2kx3kx2(0x0.048 6)令y0，得x0.032 4或x0(舍去)當(dāng)0x0；當(dāng)0.032 4x0.048 6時，y0.所以當(dāng)x0.032 4時，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.032 4時，銀行獲得最大收益3統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為yx3x8(0x120)已知甲、乙兩地相距100千米，當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解當(dāng)速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因?yàn)閤(0,80)時，h(x)0，h(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)x80時，h(x)取得極小值h(80)11.25(升)因?yàn)閔(x)在(0,1