1、3個函數(shù)的單調(diào)性(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .理解函數(shù)最大(最小)值的概念及其幾何意義；2.通過單調(diào)性尋求最大值；3.掌握封閉區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的最大值。知識點(diǎn)函數(shù)的最大(最小)值考慮下圖所示函數(shù)中的最大函數(shù)值和最小函數(shù)值。1為什么不是最小值？函數(shù)y=f (x)的定義域是D。如果x0D和f (x)=m存在，那么對于任何xD，f(x)M存在，那么我們稱M為函數(shù)y=f (x)的最大值，即當(dāng)x=x0時。兩個知識點(diǎn)函數(shù)的最大(最小)值的幾何意義想象一下函數(shù)y=x2，x-1，1的圖像，如圖所示：試著指出函數(shù)的最大值和最小值以及相應(yīng)的x值.一般來說，函數(shù)的最大值對應(yīng)于圖像中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)于圖像中的最低點(diǎn)，不一定

2、只有一個。類型一通過單調(diào)性尋求最大值例1:給定函數(shù)f (x)=(x0)，求函數(shù)的最大值和最小值。內(nèi)省和理解(1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b中增加，f(x)的最大值是f(b)，最小值是f (a)。(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b中減小，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f (b)。(3)如果函數(shù)y=f (x)有多個單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求出每個區(qū)間的最大值，然后由每個區(qū)間的最大值確定最大(小)值。(4)如果函數(shù)的定義域是一個開區(qū)間，我們不僅要考慮函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，還要考慮函數(shù)在終點(diǎn)的價值或發(fā)展趨勢。跟蹤訓(xùn)練1知道函數(shù)f(x)=(x2，6)，并找到函數(shù)的最大值和最小值。類型2找到二

3、次函數(shù)的最大值例2 (1)函數(shù)f(x)=x2-2x-3是已知的，如果x0，2，求函數(shù)f(x)的最大值；(2)給定函數(shù)f(x)=x2-2x-3，如果xt，t 2，求函數(shù)f(x)的最大值；(3)已知函數(shù)f(x)=x-2-3，求函數(shù)f(x)的最大值；(4)“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。當(dāng)它被制造出來時，一般認(rèn)為它會在到達(dá)最高點(diǎn)時爆炸。如果從煙花到地面的高度h m和時間t s之間的關(guān)系是h(t)=4.9 T2 14.7 t18，那么煙花爆炸的最佳時間是什么時候？此刻離地面有多高？(精確到1米)反思與理解(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值與二次函數(shù)的開口和對稱軸有關(guān)，求解時應(yīng)注意這一點(diǎn)。(2)圖像直觀

4、，易于分析和理解；匹配方法更嚴(yán)格，通常用于解決問題。跟蹤訓(xùn)練2 (1)通過知道函數(shù)f (x)=x4-2x2-3來找到函數(shù)f(x)的最大值；(2)求2，4上二次函數(shù)f (x)=x2-2ax 2的最小值；(3)如圖所示，在某處修建圓形噴泉，水流沿同一拋物線路徑向四面八方下落，以噴泉中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閄軸，垂直方向?yàn)閅軸，建立平面直角坐標(biāo)系。那么，水射流的高度h(單位：m)和水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關(guān)系是h=-x2 2x，x 三類函數(shù)最大值的應(yīng)用例3眾所周知，對于任何x(0，)，x2-x A0都是常數(shù)，這是實(shí)數(shù)a的取值范圍.擴(kuò)展查詢將例3中的“x(0，)”改為“x(，)”，然后求出a

5、的取值范圍.對不等式問題的自省和理解總是正確的，任何xD，f(x)a總是正確的，這一般轉(zhuǎn)化為最大值問題：f(x)mina來解決。任何xD，f(x)0，x1x2-10，f (x1)-f (x2) 0，f(。f(x)在1，上減少。 f (x)最大值=f (1)=無最小值。跟蹤訓(xùn)練1解決了x1和x2是區(qū)間2，6中的任意兩個實(shí)數(shù)，x10，(x1-1) (x2-1) 0，然后f (x1)-f (x2) 0，即f (x1) f (x2)。因此，函數(shù)y=是區(qū)間2，6中的遞減函數(shù)。因此，函數(shù)y=獲得區(qū)間2，6兩端的最大值和最小值，也就是說，當(dāng)x=2時，最大值為2。當(dāng)x=6時，得到最小值。例2解(1)函數(shù)f (

6、x)=x2-2x-3，打開，對稱軸x=1，f(x)在0，1上減少，在1，2上增加，f (0)=f (2)。f(x)max=f(0)=f(2)=-3，f(x)最小值=f(1)=4。(2)對稱軸x=1，(1)當(dāng)1 t 2，即t -1時，f(x)max=f(t)=t2-2t-3，f(x)最小值=f(t+2)=t2+2t-3。當(dāng)11時，f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3，f(x)最小值=f(t)=t2-2t-3。讓函數(shù)的最大值為g(t)，最小值為(t)。G (t)=(t)=(3) let=t (t 0)，X-2-3=T2-2t-3。根據(jù)(1)，y=T2-2t-3 (t 0)在0，1上減少，在

7、1，)上增加。t=1時的，即x=1，f (x) min=-4，無最大值。(4)制作函數(shù)h (t)=-4.9t2 14.7t 18的圖像(如圖所示)。顯然，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是焰火升起的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是焰火爆發(fā)的最佳時間，縱坐標(biāo)是此時離地面的高度。根據(jù)二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)=4.9 T2 14.7 t18，我們有：當(dāng)t=-1.5時，該函數(shù)的最大值h= 29。因此，煙花爆發(fā)后1.5 s是最佳爆發(fā)時間，離地高度約為29米.跟蹤訓(xùn)練2解(1)讓x2=t (t 0)，那么x4-2x2-3=T2-2t-3。Y=T2-2t-3 (t 0)在0，1時下降，1，上的增量。當(dāng)t=1時，即x=1時， f

8、 (x)最小值=-4，沒有最大值。(2)函數(shù)圖像的對稱軸為x=a，當(dāng)a2，f(x)是2，4上的遞增函數(shù)時，f(x)min=f(2)=6-4a.當(dāng)a4，f(x)是2，4中的遞減函數(shù)時，f(x)min=f(4)=18-8a.當(dāng)2a4時，f (x)最小值=f (a)=2-a2。f(x)min=(3)從函數(shù)h=-x2 2x，x0的圖像可以看出，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是水射流的最高點(diǎn)。此時，函數(shù)獲得最大值。對于函數(shù)h=-x2 2x，x0，當(dāng)x=1時，函數(shù)具有最大值hmax=-12 21=。所以水射流的最高高度是100米.示例3解決方案：讓y=x2-x a，要使x2-x A0適用于任何x(0，)，只需ymin=0并得到一個.實(shí)數(shù)a的范圍是(，)。方法二x2-A0可以轉(zhuǎn)化為一x2-x .為了使任何x(0，)保持-x2 x，只需要(-x2 x)最大值。和-(x2 x)max=， a .實(shí)數(shù)a的范圍是(，)。擴(kuò)展查詢f (x)=-x2 x是(，)中的遞減函數(shù)。f(x的范圍)是(-，)，要使-x2 x對任何x(，)成立，只需a,a的取值范圍是，。跟蹤培訓(xùn)3解決方案x0、 ax2 x